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Mondfinsternis und Besselsche Elemente ?

siehe auch: Sonnenfinsternis und Besselsche Elemente

Inhalt

1. Einleitung
2. Schritte der Beschreibung einer Mondfinsternis
    2.1 Schattenachse
    2.2 Sehwinkel und sphärisches Koordinatensystem
    2.3 Umrechnung der Mondposition vom Ausgangssystem ins Zielsystem
    2.4 Größe des Erdschattens
3. Berechnung der Mondfinsternisgrößen
    3.1 Die Schattenachse als Polachse des Ziel-Koordinatensystems
    3.2 Sehwinkel des Mondes
    3.3 Sehwinkel der Schattenkreishalbmesser
    3.4 Sehwinkel des Mondes bei Kontakten
4. Rechenbeispiel
5. Anhang: Herleitung der Gleichungen (5) und (6)
    5.1 Im Zielsystem zeigt die x-Achse nach Osten
    5.2 Im Zielsystem zeigt die y-Achse nach Osten
6. Literatur
7. Anmerkungen

1. Einleitung  

Friedrich Wilhelm Bessel hat seine Theorie nur Erscheinungen gewidmet, bei denen sich der der Erde näherere Himmelskörper zwischen sie und dem entfernteren schiebt [1]. Seine Elemente werden somit typischerweise für die Vorhersage einer Sonnenfinsternis angewendet, wenn sich der Mond zwischen Erde und Sonne schiebt.

Eine Mondfinsternis wird von der Erde aus beobachtet, wobei sie von jedem Ort auf der Erdoberfläche aus gleich erscheint. Die einer irdischen Sonnenfinsternis entsprechende Aufgabe, die jetzt vom Beobachtungsort auf der Mondoberfläche abhängige Finsterniserscheinung zu beschreiben, entfällt. Häufig wird dennoch formal von Besselschen Elementen für eine Mondfinsternis gesprochen [2], weil sich die für die Beschreibung der von der Erde aus gesehenen Verfinsterung nötigen geometrischen Größen sehr ähnlich wie zwei der für eine Sonnenfinsternis gebrauchten acht Elemente berechnen lassen.

Es findet nicht das zweistufige Verfahren wie bei der Berechnung einer Sonnenfinsternis statt. Es gibt keine Fundamentalebene mit Elementen, die erst in einem zweiten und sehr indviduellen Schritt für die Ermittlung der Erscheinungen an einem bestimmten Ort benutzt werden. Ein solcher Ort existiert nicht auf der Erdoberfläche, denn verfinstert wird der Mond, und das sieht von jedem Ort der Erde aus gesehen gleich aus. Ich werde das allgemein gebrauchte Verfahren, mit dem der Verlauf einer Mondfinsternis beschrieben wird, darstellen und gelegentlich auf rein rechnerische Parrallelen zu den für eine Sonnenfinsternis gebrauchten Besselschen Elementen hinweisen.

2. Schritte der Beschreibung einer Mondfinsternis  

2.1 Schattenachse  

Der Mond verfinstert sich, wenn er in den Schatten, den die von der Sonne beleuchtete Erde in den Weltraum wirft, eintritt. Er verfinstert sich deutlich, wenn er in den Kernschatten der Erde eintaucht. Seine für die Finsternis relevante Bewegung auf die Schattenachse zu beziehen, ist naheliegend. Diese Achse ist eine vom Sonnenmittelpunkt durch den Erdmittelpunkt in Richtung Mond verlaufende Linie und ist mit den Ephemeriden Rektaszension und Deklination (äquatoriale sphärische Koordinarten) der Sonne bereits bekannt. Die bei einer Sonnenfinsternis vorliegende Schattenachse enthält den Erdmittelpunkt nicht, weshalb ihre Richtung aus den Ephemeriden von Sonne und Mond berechnet werden muss.

2.2 Sehwinkel und sphärisches Koordinatensystem  

Bei einer Mondfinsternis stellt sich die Aufgabe, für die Lage des Mondes auf die Schattenachse bezogene sogenannte "Sehwinkel" anzugeben. In der Schattenachse liegt wie bei der Behandlung einer Sonnenfinsternis zweckmäßig eine Achse des für die Betrachtung nötigen Bezugssystems (Zielsystem). Dafür wird die Polachse eines sphärischen Koordinatensystems gewählt, denn dessen Winkel (sphärische Koordinaten) sind die gewünschten Sehwinkel. Ursprung des Bezugssystems sei auch der Erdmittelpunkt. Die Polachse zeige von der Sonne weg, d.h. zur "Gegensonne" hin. Somit sind ihre sphärischen Koordinaten im äquatorialem Ausgangssystem von den Ephemeriden der Sonne um 180° verschieden (s. Abb.1). Die meisten Beobachter fragen nur nach dem Abstandswinkel zwischen Erdschatten und Mond (erste sphärische Koordinate, Sehwinkel: Poldistanzwinkel), weshalb die Winkellage auf einem Kreis um den Mittelpunkt des Erdschattens (zweite sphärische Koordinate, Sehwinkel: Azimutwinkel) oft nicht angegeben wird (s. Abb.4 u. Abb.5).

2.3 Umrechnung der Mondposition vom Ausgangssystem ins Zielsystem  

Die Umrechnung zwischen den beiden gegeneinander verdrehten sphärischen Koordinatensytemen (äuatoriales und Zielsystem) erfolgt prinzipiell nicht direkt von sphärischen zu sphärischen Koordinaten, sondern immer mit Einschaltung des Zwischenschritts der Um-/Rückwandlung zu/von kartesischen Koordinaten. Bei der Behandlung einer Sonnenfinsternis mit Besselschen Elementen unterbleibt die Rückwandlung zu sphärischen Koordinaten. Der Abstand der Schattenachse von der z-Achse (gleich Polachse) wird mit zwei Besselschen Elementen (die Gesamtzahl der Besselschen Elemente ist Acht!) in Form der kartesischen x- und der kartesischen y-Koordinate angegeben.

Eine umfangreiche Arbeit bei der Umrechnung ist das Aufstellen der Drehmatrizen, die von den kartesischen Koordinaten der Mondposition im Äquatorsystem ausgehen und zu den entsprechenden kartesischen Koordinaten im Zielsystem führen. Sie wird dadurch erleichtert, dass die bei der Ermittlung der Besselschen Elemente für Sonnenfinsternisse verwendeten Drehmatritzen prinzipiell gleiche Formeln sind und somit wieder verwendet werden können. Von Besselschen Elementen selbst bei Mondfinsternissen zu sprechen, ist aber nicht zutreffend. Diese in der Zeit nach Bessel und auch erst nach dem einige Zeit spärter am gleichen Thema arbeitenden US-Amerikaner William Chauvenet entstandene Gewohnheit ist salopp und irreführend, was bei genauerem Hinsehen, das heißt bei mehr als nur rezeptartigem Umgang mit den Besselschen Elementen, schnell deutlich wird.

2.4 Größe des Erdschattens  

Die Radien von Halb- und Kernschatten der Erde werden wie schon die Richtung zum Mond für den irdischen Beobachter als Sehwinkel angegeben. Genau genommen haben diese Winkel ihren Scheitel im Erdmittelpunkt, aber der Fehler, der durch Beobachtung von der Erdoberfläche aus entsteht, ist vernachlässigbar klein.

Die geometrischen Betrachtungen finden zunächst in einer Ebene statt, die die Mittelpunkte der drei beteiligten Himmelskörper Erde, Sonne und Mond enthält (s. Abb.4 u. Abb.5). Dieses Vorgehen ist allgemein und traditionell und auch bei einer Sonnenfinsternis keine Besonderheit, die von Bessel eingeführt worden wäre. Die von ihm bei der Behandlung von Sonnenfinsternissen eingeführte Besonderheit ist die zusätzlich gebrauchte sogenannte Besselsche oder Fundamental-Ebene, die senkrecht zur o.g. Ebene liegt und nur den Erdmittelpunkt enthält. Bei der Behandlung von Mondfinsternissen spielt sie keine besondere Rolle.

3. Berechnung der Mondfinsternisgrößen  

Abb.1  Sonne (gelb), Erde (blau), Mond (rot) und Schattenachse (Erdschatten als grau-schwarze Scheibe, rechts)
           äquatoriales Kordinatensystem: Äquatorebene = X/Y-Ebene (X- und Y-Achse, Z-Achse senkr. auf X/Y-Ebene)
              a und d = Winkel der Schattenachse bzw. der "Gegensonne",
              αM und δM = Winkel des Mondes (δM indirekt als gestützte Höhe |rm|sinδM erkennbar).
           Ziel-Koordinatensystem: Bezugsebene = xy-Achse (x- und y-Achse, z-Achse in Schattenrichtung, s.a. Abb.2)

3.1 Die Schattenachse als Polachse des Ziel-Koordinatensystems  

                                                                     Abb.2 >>
Schattenachse als Polachse des Ziel-Koordinatenystems
(z-Achse des dem sphärischen angehefteten kartesischen Koordinatensystems)

Die Richtung der Polachse (z-Achse) des Ziel-Kugelkoordinatensystems sind im äquatorialen Koordenatensystems mit den Ephemeriden der Sonne bekannt. Da die positive Polachse (z-Achse) von der Sonne weg zur "Gegensonne" zeigt, ergeben sich ihre äquatorialen Winkel Rektaszension a und Deklination d zu:

(1)      a = αS ± 180°
(2)      d = - δS
.

Der Summand 180° in Gl.(1) deutet auf die Gegenrichtung und das negative Vorzeichen in Gl.(2) auf die Lage der Sonne auf der Gegenseite der Himmelsäquatorebene, von der aus die Deklination gemessen wird. Bei einer Mondfinsternis befindet sich die Sonne immer in entgegegesetzter Richtung zum Mond und immer auf der anderen Seite der Äquatorebene als der Mond (im genauen Zeitpunkt eines Äqinoktiums befinden sich beide in dieser Ebene).

3.2 Sehwinkel des Mondes  

Die kartesische xy-Ebene des Zielsystems ist mit der Besselschen Fundamentalebene identisch, wird aber im Unterschied zu Letzterer weder aus anschaulichen Gründen noch zur weiteren eigentlichen Vorhersage wie bei einer Sonnenfinsternis (Situation an individuellen Orten auf der Erdoberfläche) gebraucht. Bei einer Mondfinsternis sind Winkel (Sehwinkel) das Ergebnis der Betrachtung, also müssen die kartesischen Mond-Koordinaten x und y in Winkel-Koordinaten rückgewandelt werden.

Nachstehend die bekannten Gleichungen für die kartesischen Mond-Koordinaten x und y bei einer Sonnenfinsternis (s. z.B. Gl.n (8) und (9) in meinen eingangs erwähnten Aufsatz):

(3)      xM   =   |rM| · cos δM · sin (αM - a) ,
(4)      yM   =   |rM| ·  (sin δM · cos d   -   cos δM · sin d · cos (αM - a)) .

Der Faktor |rM| entfällt, da er der Radius der betrachten Einheitshimmelskugel ist.
Einsetzen der Ausdrücke für a und d aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt:

(5)      xM   =   cos δM · sin (αS - αM) ,
(6)      yM   =   sin δM · cos δS   -   cos δM · sin δS · cos (αM - αS) .

Außer dem fehlenden Faktor |rM| sind die Unterschiede unauffällig.

In Gl.(5) ist die Reihenfolge der Winkel in der Klammer umgekehrt. Herleitung:
sin (αM - a)   →   sin ((αM - αS) ±180°) = - sin (αM - αS) = sin (αS - αM).

Gl.(6) bleibt Gl.(4) sehr ähnlich. Herleitung:
1. Summand:     sin δM · cos d   →   sin δM · cos (- δS) = sin δM · cos δS
2. Summand:   - cos δM · sin d · cos (αM - a)   →
                       - cos δM · sin (- δS) · cos ((αM - αS) ±180°) = - cos δM · (- sin δS) · ( - cos (αM - αS)) =
                       - cos δM · sin δS · cos (αM - αS)

Gemäß meinem Anliegen, zu zeigen, dass zwischen den für Sonnenfinsternis-Betrachtungen vorteilhaften Besselschen Elementen und der Untersuchung von Mondfinsternissen zwar Ähnlichkeiten, aber kein zwingender Zusammenhang besteht, werde ich die Gleichungen (5) und (6) ohne Vorlage der Gleichungen (3) und (4) im 1. Anhang herleiten.

Im 2. Anhang löse ich mich noch weiter von der Besselschen Methode, indem ich im Zielsystem die x- und die y-Achse im Vergleich zum Besselschen Fundamentalsystem umgekehrt anordne. Gegen diese rechnerische Variante gibt es keine praktischen Einwände, solange dem Beobachter nur der im voraus ermittelte Sehwinkel σ des Mondes und nicht zusätzlich auch seine Lage zweidimensional mitgeteilt wird.

<< Abb.3  Sehwinkel σ des Mondes

Die Koordinaten x und y repräsentieren den gesuchten Sehwinkel zwischen Schattenachse und Mondmittelpunkt, jede allein einen Winkel in der xz- bzw. in der yz-Ebene (s. Abb.3). Vor der Umrechnung auf den Gesamtwinkel wird die entsprechende Länge in der xy-Ebene als Diagonale m gebildet und so der Sinus des Sehwinkels σ gewonnen:

(7)      m  =  (x2 + y2) ½  =  sin σ .


Da der Sehwinkel klein ist, kann sein Sinus als ausreichende Näherung verwendetet werden (Anmerkung 1).
Als Einheit ist die Winkelsekunde üblich [1], wobei m durch sin 1" geteilt angegeben wird [7]:

(8)      σ  ≈  (x2 + y2) ½ / sin 1" .

3.3 Sehwinkel der Schattenkreishalbmesser  

Die Sehwinkel f1 des Halbschattendurchmessers und f2 des Kernschattendurchmessers sind zusätzlich zu den Sehwinkeln der Mondrichtung und des Mondhalbmessers erforderlich, um die verschiedenen Kontakte zwischen Mondrand und den Schattenrändern beschreiben zu können (s. Abschn. 3.4). Ihre Ermittlung ist eine relativ einfache, weil ebene geometrische Aufgabe.

Drei Punkte spannen immer eine Ebene auf. Im vorliegenden Fall geht es um diejenige Ebene, in der die Mittelpunkte von Sonne, Erde und Mond liegen. Sie enthält auch die durch die Mittelpunkte von Sonne und Erde verlaufende Achse der Schattenkegel. Deren Winkel und alle relevanten Sehwinkel sind in ihr abgebildet (s. Abb.4 u. Abb.5).

f1 und f2 werden mit bekannten, während der Finsternis als konstant angenommenen Größen ausgedrückt, mit:

  • πM und πS = horizontale Mond- und horizontale Sonnenparallaxe (Sehwinkel der Erde von Mond und Sonne aus,
                         indirekte Angaben für die Entfernungen Erde-Mond und Erde Sonne)
  • ρS              = Sehwinkel der Sonne von der Erde aus (zusätzlich indirekte Angabe für den Sonnenradius)
(9)     f1 = πM + πS + ρS     ( gemäß Abb.4:         Δ M'EV1  <>  f1 = πM + v1         Δ EV1S'  <>  v1 = πS + ρS )
(10)   f2 = πM + πS  - ρS     ( gemäß Abb.5:         Δ V2M'E  <>  f2 = πM  - v2         Δ M'ES'  <>  v2 = ρS  - πS )

Die Sehwinkel der von der Erde verursachten zwei Schattenkreise können ebenfalls zwei Besselschen Elementen, nämlich den Durchmessern der bei einer Sonnenfinsternis vom Mond verursachten zwei Schattenkreise gegenübergestellt werden. Die Verwandtschaft ist auch hierbei gering: 1. Es handelt sich einerseits um Sehwinkel, andererseits um Durchmesser. 2. Die Schatten befinden sich einerseits auf einer den Mond enthaltenden Sphäre, andererseits auf der die Erde schneidenden Besselschen Fundamentalebene.

Abb.4: Bestimmung des Sehwinkels f1 des Halb-        Abb.5: Bestimmung des Sehwinkels f2 des Kernschattenradius
(Anmerkung 2)

                                                                  Abb.6 >>
                       Sehwinkel der Schattenkreisradien f und
                       Sehwinkel Σ des Mondes
                       bei Kontakten mit den Schattenrändern,
                       ρM = Sehwinkel des Mondhalbmessers

3.4 Sehwinkel des Mondes bei Kontakten  

Die Bewegung des Mondes relativ zu den Erdschatten ergibt sich aus den zu verschiedenen Zeitpunkten aus seinen Ephemeriden errechneten Sehwinkeln. Von besonderem Interesse sind die Zeitpunkte der Kontakte mit den Schatten. Dafür werden die Sehwinkel vorgegeben und die entsprechenden Zeitpunkte ermittelt.

Ein Kontakt ist die Berührung eines Schattenkreises durch den Mondkreis (s. Abb.6). Es interessieren:

  • Beginn und Ende der Halbschattenfinsternis:                 Sehwinkel     Σ1 = f1 + ρM    (11)
  • Beginn und Ende der Kernschattenfinsternis:                 Sehwinkel     Σ2 = f2 + ρM    (12)
  • Beginn und Ende der totalen Kernschattenfinsternis:      Sehwinkel     Σ3 = f2  - ρM     (13)
Der Sehwinkel ρM des Mondhalbmessers ist bekannt und wird für die Dauer der Finsternis als konstant angenommen. Die Sehwinkel Σ1 bis Σ3 sind bei abnehmender Finsternis gleich groß wie bei zunehmender.

4. Rechenbeispiel  

Eine wichtige Vorarbeit für die Detailberechnung einer bevorstehenden Finsternis ist die Beschaffung der äquatorialen Winkelkoordinaten von Sonne und Mond (Ephemeriden) für mehrere eng benachbarte Zeitpunkte (z.B. alle 10 Minuten). Die Berechnung der Ephemeriden aus den Bewegungsgleichungen der Himmelskörper ist grundsätzlich möglich, in der Regel aber durch den Laien wegen der Forderung nach hoher Genauigkeit praktisch nicht möglich. Werte hoher Genauigkeit werden von einschlägigen Diensten angeboten [6]. Zur Erleichterung der Rechnungen, die eher als Fleißarbeiten anzusehen sind, wird man sich ein Computer-Rechenprogramm anfertigen (oder eins im Internet suchen). Die folgende Wiederholung einer vorgefundenen [7], von Hand gemachten Berechnung der Situation einer vergangenen Mondfinsternis zu einem einzigen Zeitpunkt ist lediglich als Abrundung meiner "Fußwanderung" durch das Thema "Mondfinsternis und Besselsche Elemente ? " gedacht.

Partielle Mondfinsternis vom 13. März 1975, 21h UT:
Ephemeriden:
αM = 11h 33m 27,303s = 173,3637652°       δM = 3° 22' 43,49'' = 3,3786917°       πM = 0° 54' 36,83'' = 0,9102306°
ρM = 0,24805° = 892,98''
αS = 23h 33m 08,380s = 353,2849167°        δS =-2° 54' 07,80'' =-2,9021667°       πS =             8,85'' = 0,0024583°
ρS = 0° 16' 05,4'' = 0,2681642°
Rechenergebnisse: Maßstäbliche Darstellung → Abb.7
 Gl. (5):       xM = 0,0013738
 Gl. (6):       yM = 0,0083168
 Gl. (7):    sin σ = 0,0084295     ≈     σ = 0,48298°
 Gl. (8):    sin σ / sin 1''             ≈     σ = 1738,72''
 Gl. (9):         f1 = 1,1809° = 4.251,07''
Gl.(10):         f2 = 0,6445° = 2.320,29''
Bemerkungen:
1. Die Ephemeriden gelten für den Schwerpunkt, der Mondrand wird aber als Kreis um seinen Mittelpunkt gesehen. Die übernommenenen Ephemeriden des Mondes waren bereits entsprechend korrigiert: .
2. Der Sehwinkel ρM des Mondradius ist aus der Mondparallaxe πM und den Halbmessern von Erde und Mond errechnet.
3. Die von mir errechneten Sehwinkel f1 und f2 der Schattenhalbmesser sind die rein geometrischen Werte. Da die Erdatmosphäre offensichtlich nicht ganz durchsichtig ist, werden tatsächlich etwas größere Werte beobachtet. Als Faustwerte gelten um 2% vergrößerte Halbmesser.

5. Anhang: Herleitung der Gleichungen (5) und (6)  

5.1 Im Zielsystem zeigt die x-Achse nach Osten   ↑ nach oben   ↑ zurück

Die Richtung zum Mond ist mit den Ephemeriden αM und δM im äquatorialen Koordinatensystem angegeben. Gesucht ist diese Richtung relativ zur Polachse des Zielsystems: Sehwinkel σ .

Zwischenschritt ist die Ermittlung der kartesischen Koordinaten in beiden Systemen. Die im äquatorialen System ermittelten Koordinaten werden mit Hilfe der Drehmatrix, die die Verdrehung zwischen beiden Systemen beschreibt, in die im Zielsystem gesuchten umgerechnet. Aus letzteren werden die sphärischen Koordinaten im Zielsystem bestimmt (Anmerkung 3).


Abb.8
Drehung zwischen äquatorialem (X,Y,Z) und Ziel-Koordinatensystem (x,y,z) mit x-Achse nach Ost

Die Drehmatrix beschreibt eine Drehung in zwei Schritten (Abb.8, Anmerkung 4):
1. um die äquatoriale Z-Achse: Matrix Dz,
2. um die nach der 1. Drehung entstandene, nach Osten zeigende Bezugs-x-Achse: Matrix Dx.
Die beiden Einzel-Drehmatrizen (Anmerkung 5) werden zur Gesamt-Drehmatrix D zusammen gefasst:
(Rechenregel: von rechts nach links schreiben, also Dz hinten)

Der Winkel ζ der ersten Drehung ist (a + π/2) mit (a = αS - π),
also ζ = (αS - π/2) . Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der Winkelfunktionen sind:
cos (αS - π/2) = sin αS   und   sin (αS - π/2) = - cos αS .

Der Winkel χ der zweiten Drehung ist (π/2 - d) mit d = -δS,
also χ = (π/2 + δS) . Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der Winkelfunktionen sind:
cos (π/2 + δS) = - sin δS   und   sin (π/2 + δS) = cos δS .

Mit diesen Winkelfunktionen lautet die Drehmatrix wie folgt:

,

und nach dem Multiplizieren:
(Rechenregel: die Zeilen-Elemente der linken Matrix werden mit den Spalten-Elementen der rechten Matrix multipliziert; Stichwort: Falk-Schema)

Die Drehmatrix auf die äquatorialen Koordinaten XM, YM und ZM des Einheits-Ortsvektors zum Mond angewendet ergibt die Koordinaten xM, yM und zM des Einheits-Ortsvektors zum Mond im Bezugskoordinatensystem:                                                             >>



Die äquatorialen Koordinaten XM, YM und ZM des Einheits-Ortsvektors zum Mond sind:
<<


Nach Einsetzen, Rechnen und Vergleichen ...


(5)      xM   =   cos δM · sin (αS - αM)


(6)      yM   =   sin δM · cos δS   -   cos δM · sin δS · cos (αM - αS)

... sind die Gleichungen (5) und (6) bestätigt.

5.2 Im Zielsystem zeigt die y-Achse nach Osten   ↑ nach oben   ↑ zurück


Abb.9
Drehung zwischen äquatorialem (X,Y,Z) und Bezugs-Koordinatensystem (x,y,z) mit y-Achse nach Ost

Die Drehungen des Koordinatensystems in zwei Schritten sind (Abb.9):
1. um die äquatoriale Z-Achse: Matrix Dz,
2. um die nach der 1. Drehung entstandene, nach Osten zeigende Bezugs-y-Achse: Matrix Dy.

Der Winkel ζ der ersten Drehung ist a mit (a = αS ± π),
also ζ = (αS ± π) . Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der Winkelfunktionen sind:
cos (αS ± π) = - cos αS   und   sin (αS ± π) = - sin αS .

Der Winkel ψ der zweiten Drehung ist wie χ in 5.1 (π/2 - d) mit d = -δS,
also ψ = (π/2 + δS) . Kürzere, gleichwertige Schreibweisen der Winkelfunktionen sind:
cos (π/2 + δS) = - sin δS   und   sin (π/2 + δS) = cos δS .

Mit diesen Winkelfunktionen lautet die Drehmatrix wie folgt:

,

und nach dem Multiplizieren:

Die Drehmatrix auf die äquatorialen Koordinaten XM, YM und ZM des Einheits-Ortsvektors zum Mond angewendet ergibt die Koordinaten xM, yM und zM des Einheits-Ortsvektors zum Mond im Bezugskoordinatensystem:                                                             >>



Die äquatorialen Koordinaten XM, YM und ZM des Einheits-Ortsvektors zum Mond sind:
<<


Nach Einsetzen und Rechnen:



Dieses Ergebnis ist nach Vergleich mit Gleichung (6) wie erwartet, denn die negative x-Achse hat den Platz der vorherigen positiven y-Achse eingenommen (Abb.8 und Abb.9):
(6)      yM   =   sin δM · cos δS   -   cos δM · sin δS · cos (αM - αS) .


Auch dieses Ergebnis entspricht der Erwartung (zu vergleichen mit Gleichung (5)), denn die y-Achse hat den Platz der vorherigen x-Achse eingenommen (Abb.8 und Abb.9):
(5)      xM   =   cos δM · sin (αS - αM) .

6. Literatur  

[1] Friedrich Wilhelm Bessel: "Astronomische Untersuchungen", Zweiter Band, Königsberg, 1842, S. 95:
     ''X. Analyse der Finsternisse'' (books.google)
[2] P. Kenneth Seidelmann (Hrsg.): "Explanatory Supplement of the Astronomical Almanac",
     University Science Books, 1992, S. 428 - 31 und S. 467-71
[3] P. Kenneth Seidelmann (Hrsg.): "Explanatory Supplement of the Astronomical Almanac",
     University Science Books, 1992, S. 436 - 37
[4] Robin M. Green: "Spherical astronomy", Cambridge University Press, 1985, S. 450 - 51
[5] Wikipedia: "Besselsche Elemente"
[6] MICA: "Solar System Ephemerides"
[7] H. Mucke: "Die Geometrie astronomischer Finsternisse", Sternfreunde-Seminar, Wiener Planetarium, 1999
[8] Herbert Goldstein u.a.: "Klassische Mechanik", WILEY-VCH, 2006, Seiten 163 und 653
[9] mathworld.wolfram.com: "Rotation Matrix", Gleichungen (5) bis (6)

7. Anmerkungen  

Anmerkung 1   ↑ zurück
Der Fehler beträgt beim Sehwinkel 1° etwa 0,005% und bei 2° auch erst etwa 0,02%

Anmerkung 2   ↑ zurück
In Abb.4 ist der Scheitelpunkt der Sonnenparallaxe πS aus praktischen Gründen in den Punkt S' verlegt. Nach Definition befindet er sich im Sonnenmittelpunkt S (s. auch πM im Mondmittelpunkt in Abb.5). Die Verlagerung auf einen Randpunkt der Sonne hat aber praktisch keinen Fehler zur Folge.

Anmerkung 3   ↑ zurück
Der Übergang vom äquatorialen zum Ziel-Koordinatensystem durch komplettes Drehen des ersteren unter Anwendung des zusammenfassenden Operators Drehmatrix wird in der Literatur angedeutet [3]. Üblicher scheint aber zu sein, die äquatorialen kartesischen Koordinaten der Einheitsvektoren des Bezugskoordinatensystems einzeln zu benutzen [4], [5]. Diese Koordinaten werden als bekannt hingestellt, obwohl sie doch individuell von der Lage des gewählten Bezugssystems abhängen. In der Drehmatrix stehen diese Koordinaten der Einheitsvektoren i, j und k nacheinander in den Zeilen, und sie werden als diese Matrix-Elemente bei der Entwicklung der Gesamt-Drehmatrix aus den Drehmatrizen der zwei einzelnen Drehungen hergeleitet. Die verwendeten Matrizen für solche einzelne Drehungen um eine Koordinatenachse sind im Unterschied zu den genannten Einheitsvektoren-Darstellungen von Anwendungen unhabhängige mathematische "Normteile" und in entsprechenden Nachschlagewerken zu finden [8], [9].

Anmerkung 4   ↑ zurück
Die Verdrehung eines Koordinatensystems in ein anderes wird typischerweise mit den drei sogenannten Eulerwinkeln vorgenommen. Im vorliegenden Fall genügen Drehungen um zwei Koordinatenachsen, da die neue x-Achse in der ursprünglichen X/Y-Ebene bleibt.
Die Kenntnis der Arbeit mit Matrizen - hier ihre Emittlung als Drehmatrizen und deren Anwendung auf Orts-Vektoren - setze ich voraus bzw. bitte den Leser, diesen Teil der Mathematik zu repetieren oder ihn sich anzueignen.

Anmerkung 5   ↑ zurück
Die folgende Gleichung enthält die Matrizen Dz und Dx in allgemeiner Schreibweise für Drehungen eines rechtshändigen Koordinatensystems (das vorliegende äquatoriale Koordinatensystem ist ein solches) im mathematisch positiven Sinn.

LogoSW Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, Februar 2013 (März 13, Juli 15)

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