<< Home Sonnenuhren mit LichtbrechungInhalt1. Abbildung des gesamten Himmels auf begrenzter ebener Fläche2. Anwendung der gebrochenen gnomonischen Projektion bei ebenen Sonnenuhren 2.1 Eine horizontale Sonnenuhr auf dem Boden eines Badebeckens 2.2 Eine vertikale Sonnenuhr auf der Rückseite eines Blocks aus durchscheinendem Kunststoff 3. Wie groß ist die Verzerrung bei gnomonisch-gebrochener Projektion? 4. Die durch Brechung veränderte Form der Stunden- und Deklinationslinien 4.1 Die durch Brechung veränderte Form der Stundenlinien 4.2 Die durch Brechung veränderte Form der Deklinationslinien 5. Zusammenfassung 6. Literatur 7. Anmerkungen 8. Anhänge 8.1 Die durch Brechung veränderte Form des Wendekreis des Krebses bei φ = 0° 8.2 Beispiel einer ausführlichen Konstruktion einer gnomonisch-gebrochenen Projektion 8.3 Ein weiterer Prototyp einer Sonnenuhr mit Lichtbrechung 1. Abbildung des gesamten Himmels auf begrenzter ebener FlächeBei einer Sonnenuhr mit schattenwerfendem Punkt oder lichtdurchlassendem Loch wird der Himmel in gnomonischer Projektion (das abbildende Element befindet sich im Mittelpunkt der Himmels-Sphäre) abgebildet. In der üblicherweise auf ein ebenes Zifferblatt erfolgenden Abbildung - z.B. in einer horizontalen Sonnenuhr - fehlen die Randteile des Himmels, weil sie außerhalb der Grenzen eines endlich großen Zifferblatts liegen.
Abb.1 Abbildung des Himmels mit Hingegen wird der gesamte Himmel (Raumwinkel 180°, oben) "auf einer begrenzten ebenen Fläche" [1] abgebildet, wenn das Licht am Gnomon in ein optisch dichteres Medium (dichter als Luft) "hineingebrochen" wird. In Abb.1 ist das für ein Medium mit Brechungsindex n=1,5 (in etwa Acrylglas) dargestellt: Die Ausdehnung des Himmelsbildes ist nur etwa das 1,8-fache (2 · 0,9; Raumwinkel etwa 82½°) der Gnomon-Höhe. Der Himmel ab 15° über dem Horizont hat im Bild die Ausdehnung des 1,68-fachen (2 · 0,84) der Gnomonhöhe. Der Zusammenhang zwischen dem Eintrittswinkel ε und dem Austrittswinkel α eines Lichtstrahls an der brechenden Grenzfläche wird vom Snellius'schen Brechungsgesetzt dargestellt: sin ε / sin α = n1 / n2 . I.d.R ist n1 = 1 (Luft). Damit und mit einer Umstellung wird es hier wie folgt angewendet: sin α = sin ε / n . Abb.2 Zwei Sonnenuhrenzifferblätter für gnomonisch gebrochene Abbildung des Sonnenstandes links: auf dem Boden eines mit Wasser zu füllenden Beckens [1] rechts: auf der Rückseite eines Blocks aus Kunststoff [2] 2.1 Eine horizontale Sonnenuhr auf dem Boden eines Badebeckens
Abb.3 Sonnenuhren-Zifferblatt
überlagert: Himmel und Erde (φ=47° für z.B. Bern=Bildmitte) (Anmerkung 3)
Schilt schreibt:
Abb.4a Nachbau der Wasser-Sonnenuhr von Schilt,
Schilt hat der horizontalen Sonnenuhr mit dem Zifferblatt auf dem "Boden seines Badeweihers" keine Erdkarte unterlegt. Ein verkleinerter Nachbau (Wasser-Kübel anstatt -Becken) der Schilt`schen Sonnenuhr mit unterlegter und passend verzerrter Erde-Karte (Abb.4a)wurde kürzlich bekannt [5]. 2.2 Eine vertikale Sonnenuhr auf der Rückseite eines Blocks aus durchscheinendem Kunststoff
Abb.5 Sonnenuhren-Zifferblatt
Das Zifferblatt enthält auch keine Deklinations- bzw. Breitengradslinien. Hingegen ist die Behandlung der Stunden- bzw. Längengradlinien wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit. In ihr wird der Nachweis erbracht, dass sie Teile von Ellipsen sind. Ab dem nächsten Abschnitt 3. wird die Form beider Linienarten behandelt. Bei Vergleich zwischen den Abb.n 3 und 6 ist die Güte der Annäherung zwischen beiden Darstellungen (orthographische Projektion der Erde und gnomonisch-gebrochene Projektion des Himmels) erkennbar. Sie ist nicht ausreichend gut, so ist u.a. die Breite des Gürtels zwischen den Wendekreisen in Abb.3 deutlich größer als in Abb.4. Für den praktischen Gebrauch einer solchen mit dem Bild der Erde ergänzten Sonnenuhr muss letztere verzerrt werden. Die nötige Verzerrung wird umso kleiner je größer der Brechungsindex des brechenden Mediums zwischen Nodus und ebenem Zifferblatt ist (siehe Abb.6, Anmerkung 5).
Abb.6 verzerrtes Bild der Erde bei gebrochener (n=1,33 und n=1,50) gnomonischer Projektion (Anmerkung 6) und 3. Wie groß ist die Verzerrung bei gnomonisch-gebrochener Projektion?
Die Verzerrung des Liniennetzes aus Stunden- und Deklinationslinien auf der Himmelskugel geht beim Übergang zur Darstellung in der Ebene zur Änderung der Linienformen parallel, beides ist nicht voneinander trennbar. Im Folgenden wird dennoch ezunächst die Verzerrung auf dem Meridian an ein paar besonderen Punkten im Vergleich zur orthographischen Projektion quantitaiv bestimmt, bevor zur geänderten Form der Linien übergegangen wird.
Abb.7 Ermittlung der Verzerrung:
In Abb.7 sind zwei Projektionen von Meridian-Punkten (Nord-Süd-Mittagsbogen am Himmel) auf eine horizontale Ebene dargestellt. Die gnomonisch-gebrochene Projektion befindet sich unten links (siehe auch Abb.1) und die orthographische unten rechts.
Die gnomonisch-gebrochen projizierte Strecke (links: kleine schwarze Punkte) wurde zum Vergleich mit der Punkteverteilung in der orthographisch projizierten Strecke (rechts: schwarze Punkte) in Einheitslänge 1 ebenfalls auf diese Länge vergrößert (links: farbige Punkte). Schließlich wurde gnomonisch-gebrochen projizierte Strecke für einen einfach erkenbaren Vergleich mit der orthographisch projizierten Strecke nach rechts hinüber gespiegelt.
4. Die durch Brechung veränderte Form der Stunden- und DeklinationslinienIm vorherigen Abschnitt 3. wurde die nicht unwesentliche Verzerrung in einer Dimension, nämlich auf dem Meridian nachgewiesen. Im Folgenden soll untersucht werden, wie gut die Ähnlichkeit des gnomonisch-gebrochen projizierten Himmels im Allgemeinen - d.h. in beiden Dimensionen - mit einem orthographisch projizierten Bild des Himmels und der Erde ist. Dabei geht es im Besonderen darum, ob die Stunden- und Deklinationskreise als Ellipsen abgebildet werden, oder welche Abstriche davon gemacht werden müssen.
Abb.8 Die Koordinaten-Kreise am Himmel
Im als sphärische Fläche angenommenen Himmel sind die Stundenlinien (τ =konst.) halbe Großkreise (rot in Abb.8) und die Deklinationslinien (δ =konst.) Kleinkreise (blau) oder Teile von ihnen (je nach geographischer Breite φ).
In orthogonaler Projektion auf eine Ebene sind sie halbe Ellipsen bzw. ganze Ellipsen oder Stücke von ihnen (Abb.4). Ob sie das in gnomonischer Projektion mit Brechung auch oder näherungsweise auch sind, ist zu untersuchen. 4.1 Die durch Brechung veränderte Form der StundenlinienDie Stundenkreise sind Großkreise. Weil sie alle gleich groß sind und sich ihre Mittelpunkte im gnomonischen Projektionszentrum befinden, ist zu erwarten, dass sich ihre Abbildung - auch gnomonisch-gebrochen - als einfacher verständlich als die der Deklinationskreise erweist. Die Mittelpunkte der Deklinationskreise (Ausnahme: der Himmelsäquator) befinden sich abseits des Projektionszentrums (lediglich alle auf der Himmelsachse). Erwartet werden kann auch, dass die Formänderung der Großkreise beim Abbilden milder ausfällt als die der Kleinkreise mit abseits liegenden Mittelpunkten und zusätzlich noch veränderlichen Durchmessern.
Abb.9 gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
Die von einem Stundenkreis kommenden, alle in einer Ebene (Stundenebene) verlaufenden Lichtstrahlen werden im Projektionszentrum beim Übergang ins optisch dichtere Medium gebrochen. Danach befinden sie sich auf der Mantelfläche eines Kegels mit elliptischem Querschnitt. Auf einer gedachten, die ebene Bildfläche (zur Trennfläche zwischen den beiden optisch verschieden wirkenden Stoffen parallel) der Einfachheit halber berührenden sphärischen Bildfläche wird der Stundenkreis als Ellipse abgebildet. Diese ist gemäß Snellius'schem Brechungsgesetz lediglich verkleinert ähnlich derjenigen Ellipse, die bei orthographischer Projektion auf der Bildebene entsteht (Zwischenbild). Die gnomonisch-gebrochene Abbildung ist von der gedachten sphärischen Bildfläche aus weiter bis zur Bildebene zu verfolgen. Dabei werden alle vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehenden, zu Ellipsen-Punkten zeigenden Vektoren mit dem Faktor tanα / sinα (α = Austrittswinkel der Lichtstrahlen am brechenden Punkt / Gnomon) verlängert. Dieser Faktor ist zwar nicht konstant, die Ellipsenform bleibt aber erhalten. Das kann daraus gefolgert werden, dass bei φ = 0° und 4.2 Die durch Brechung veränderte Form der DeklinationslinienIn der Arbeit [2] wird darauf nicht eingegangen.
Abb.10 gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
Im Unterschied zu den Stundenkreisen haben die Deklinationskreise keine besondere Lage relativ zum Gnomon: Ihre Mittelpunkte decken sich nicht mit dem Gnomon. Die von einem Deklinationskreis zum Gnomon gehenden Lichtstrahlen befinden sich bereits auf einem Kreiskegel-Mantel (Deklinationskegel) und nachher im optisch dichteren Medium auf dem Mantel eines elliptischen Kegels. Unterschiedslos zu den Stundenkreisen werden die Deklinationskreise in der gedachten sphärischen Bildfläche ebenfalls als Ellipsen abgebildet. Ein Unterschied tritt erst bei der Weiterverfolgung dieses Zwischenbildes hin zur ebenen Bildfläche auf. Die tanα/sinα-Verlängerung betrifft hier nicht die regulären Ellipsenpunkt-Radien (vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehende Vektoren) sondern von einem exzentrischen Punkt ausgehende Vektoren. Der variierende Verlängerungsfaktor ist nur noch für je 2 Punkte gleich. Die Ellipse wird in eine geschlossene Kurve verzerrt, die nur noch aus zwei spiegelbildlich gleichen Teilen besteht (Abb.10). 5. ZusammenfassungMein erster Eindruck bei der neuerlichen Erwähnung [2] von Schilt's Sonnenuhr im Wasser, eine gleichwertige Alternative z.B. zur HELIOS kennen gelernt zu haben, hat sich nicht bestätigt. Das bei gnomonisch-gebrochener Projektion zu verwendende Zifferblattnetz ähnelt nur schwach dem Netz aus orthographisch projizierten Längen- und Breitengraden der Erde. Im Vergleich zur einfachen gnomonischen Projektion dieser Linien und der Grenzen zwischen Festland und Meeren der Erde ist der Gewinn deutlich. Es verbleibt aber immer noch eine erhebliche Irritation, wenn man sich anhand dieser Darstellung der Erde orientieren, z.B. den Subsolaren Punkt verfolgen will. Das Erdebild ist noch zu stark verzerrt. Am stärksten sind die Breitengrade (Deklinationslinien) betroffen, sie weichen deutlich von elliptisch geformten Linien ab. Die Längengrade (Stundenlinien) sind weniger verzerrt. Sie sind sogar elliptisch, haben nur eine andere Krümmung und sind seitlich verschoben. In den späteren als in der Schilt'schen Wasseruhr wird vorwiegend Acrylglas als höher brechendes Material (n=1,5) verwendet. Die Verzerrung ist dabei geringer, aber bei weitem noch nicht ausreichend. Optisch dichte Materialien gibt es ohnehin höchstens bis n=2. Sie sind teuer, und da bei größerem Brechungsindex die Schichtdicke vergrößert werden muss, würden die Kosten exponentiell ansteigen, ohne wesentliche Verbesserung erreicht zu haben.
Die "Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2] ist eine bemerkenswerte kompakte Sonnenuhr (Abb.11, links). Sie hat die Form eines flachen Würfels (Würfelsonnenuhr), an den nicht wie sonst üblich ein Polstab oder eine Gnomon vorgebaut ist. Die dadurch fehlende Sperrigkeit ist ein Vorteil für solche auf einer Fensterbank, einer Balkonbrüstung oder auf einem Gartentisch aufzustellende Sonnenuhren. Die zum Vergleich rechts in Abb.11 gezeigte, auch von der Rückseite ablesbare tragbare Vertikalsonnenuhr ist wegen des durchgehenden Polstabs noch etwas sperriger, aber mit dem Vorteil, dass auf diese Weise zusätzlich das Ablesen der frühen Morgen- und späten Abendstunden im Sommer möglich ist.
Abb.11 "Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2] 6. Literatur[1] Heinz Schilt: Ebene Sonnenuhren, Eigenverlag, 8. Auflage, 1994, Seiten 30 bis 32[2] Joachim Heierli: Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Jahresschrift 2020, Band 59, Seiten 181 bis 189 A sundial with hour lines portraying the Earth, American Journal of Physics 87 (12), 2019 [3] Siegfried Wetzel: Der Subsolare Punkt auf einer Globus-Sonnenuhr, 4. Die HELIOS, eine .. Globus-Sonnenuhr [4] Siegfried Wetzel: Eine Reflex-Globus-Sonnenuhr, 3. Eine Reflex-Globus-Sonnenuhr [5] Ernst Lobsiger: "Auf den Spuren von Heinz Schilt", Bild-Vorwegnahme aus der voraussichtlich im Okt. 2024 und unter diesem Titel öffentlich zugänglichen Arbeit 7. AnmerkungenAnmerkung 1:Bei Verwendung eines Polstabes ist das im Prinzip gleich. Der Polstab enthält aber unendlich viele Gnomone in unendlich vielen Höhen. Sonnenauf- und -untergang werden vom Schatten eines Punktes nahe beim Stabfußpunkt, also von einem sehr niedrigen Gnomon angezeigt. Der Schatten befindet sich relativ zu dieser kleinen Gnomonhöhe ebenfalls am Rand eines sehr großen, absolut aber "annehmbar" großen Zifferblatts. Je höher die Sonne steht, ein umso höher liegender Bereich des Stabes - im Extrem seine Spitze, der Gnomon - wird zur Anzeige benutzt, und die ausgelegte Breite des Zifferblattes reicht dafür aus, ist "angemessen". Anmerkung 2: Es handelt sich um das später erneuerte und erweiterte Zifferblatt im Becken von Abb.2, links. Anmerkung 3: Abb.4 enhält ein Foto meiner Reflex-Globus-Sonnenuhr. Diese Kugel ist mit langer Brennweite aufgenommen, so dass das Bild mit guter Näherung eine orthographische Projektion darstellt (Bildwinkel der Kugel nur etwa 2,5°). Anmerkung 4: "Eine mit einem Erde-Bild komplettierte Sonnenuhr von Schilt stellt die himmelsmechanische Beziehung zwischen Erde und Sonne praktisch selbsterklärend dar" [2] ist nur bei einigen der dort gezeigten und a.a.Stelle auch zum Verkauf angebotenen Sonnenuhren vorgesehen, ist aber nicht gelungen, weil die unterlegten Erde-Karten in keinem Fall passen. Bei vertikalen Sonnenuhren ist die Selbsterklärung beeinträchtigt, da die gnomonisch abgebildete Himmelssphäre (Halbkugel) sich zur Häfte unter dem Horizont befindet. Das hat zur Folge, dass das Sonnenuhrenzifferblatt auch nur eine Halbkreisfläche bedeckt (Abb.12, das Abbbild der Sonne erreicht im Gegensatz zu horizotalen Sonnenuhren die andere Hälfte nie; bei Letzteren aber im Sommer in den frühen Morgen- und den späten Abendstunden). Ein ganz wesentlicher Nachteil einer von der Rückseite zu betrachtenden vertikalen Sonnenuhr ist, dass eine dem Zifferblatt unterlegte Erde-Karte, auf der der Subsolare Punkt angezeigt wird, spiegelverkehrt sein muss. Abb.12 vertikale Sonnenuhr: Zifferblatt hinter Kunststoff (s.a. Abb.5) und dazu passendes Bild der Erde; φ = 48° links: Zifferblatt rechts: Bild der Erde aus dem Zenit über dem Ort φ = -42°, λ = +10°, muss noch passend verzerrt und um die Vertikale gespiegelt werden Anmerkung 5: Die Verzerrung (vergl. Längen der roten Striche für einen 30° breiten Gürtel über dem Äquator) ist auch bei n=1,50 (Acrylglas) noch nicht wesentlich kleiner. Selbst bei exotischen Werkstoffen bleibt der Brechungsindex kleiner als n=2, was dennoch nicht ausreichen würde, um auf das Anpassen des Erde-Bildes an das verzerrte Himmelsbild verzichten zu können. Die Anpassung ist im Wesentlichen für die Ablesegenauigkeit des Subsolaren Punktes erforderlich, Abstriche bei der Genauigkeit des Bildes außerhalb des Gürtels zwischen den Wendekreisen könnte man hingegen leicht hinnehmen. Diese Bereiche haben nur die Funktion, die Sonnenuhr zu schmücken, ihr einen Globus überzustülpen, der nicht besonders genau sein muss. Anmerkung 6: Die Abbildungen sind zu klein, um die Auswirkung der Verzerrung auf die Form der Längen- und insbesondere auf die der Breitenkreise beurteilen zu können. 8. Anhänge8.1 Die durch Brechung veränderte Form des Wendekreis des Krebses bei φ = 0
Abb.Anhg.1
Anstatt der erwarteten Gerade ist das Bild des Wendkreises eine deutlich gebogene Linie. 8.2 Beispiel einer ausführlichen Konstruktion einer gnomonisch-gebrochenen Projektion
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