2.1 Eine horizontale Sonnenuhr auf dem Boden eines Badebeckens

Abb.3  Sonnenuhren-Zifferblatt
           unter Wasser (n=1,33)
           römische Ziffern für äquinoktiale
           Stunden,
           gekreuzt darüber babylonische
           und italienische Stunden
           [1] (Anmerkung 2)

Schilt schreibt:
"Die gnomonische Abbildung wird durch die Brechung der Lichtstrahlen derart verzerrt, dass alle Bildpunkte gegen F hin verschoben" sind. "Man kann an dieser Sonnenuhr den vollständigen täglichen ... Lauf der Sonne auf einer begrenzten ebenen Fläche beobachten."
In einer kürzlich erschienene Publikation [2] heisst es sinngemäß:
Die "Orginalität liegt in der Ausbildung der Stundenlinien, welche die Erde und ihr Längennetz visuell darstellen." Mit anderen Worten: Der Himmel und die Erde werden vollständig auf einer kreisförmig begrenzten ebenen Fläche dargestellt. Die Stundenlinien bzw. die Längenkreise der Erde erscheinen als Ellipsen, deren gemeinsamer Umkreis das Bild des Himmels bzw. der Erde begrenzt (Abb.5).

Abb.4a  Nachbau der Wasser-Sonnenuhr von Schilt,
              noch ohne Wasser   [5]

2.2 Eine vertikale Sonnenuhr auf der Rückseite eines Blocks aus durchscheinendem Kunststoff

Abb.5  Sonnenuhren-Zifferblatt
           hinter Kunststoff (n=1,5)   [2]

Abb.6  verzerrtes Bild der Erde bei gebrochener (n=1,33 und n=1,50) gnomonischer Projektion (Anmerkung 6) und
            Bild bei orthographischer Projektion     [2]

3. Wie groß ist die Verzerrung bei gnomonisch-gebrochener Projektion?

Die Verzerrung des Liniennetzes aus Stunden- und Deklinationslinien auf der Himmelskugel geht beim Übergang zur Darstellung in der Ebene zur Änderung der Linienformen parallel, beides ist nicht voneinander trennbar. Im Folgenden wird dennoch ezunächst die Verzerrung auf dem Meridian an ein paar besonderen Punkten im Vergleich zur orthographischen Projektion quantitaiv bestimmt, bevor zur geänderten Form der Linien übergegangen wird.

Abb.7  Ermittlung der Verzerrung:

           dargestellt an ausgewählten Meridian-Punkten
           (Schnittpunkte mit Himmels-Äquator und
           Wendekreisen)
           n=1,50, φ = 47°

In Abb.7 sind zwei Projektionen von Meridian-Punkten (Nord-Süd-Mittagsbogen am Himmel) auf eine horizontale Ebene dargestellt. Die gnomonisch-gebrochene Projektion befindet sich unten links (siehe auch Abb.1) und die orthographische unten rechts. Die gnomonisch-gebrochen projizierte Strecke (links: kleine schwarze Punkte) wurde zum Vergleich mit der Punkteverteilung in der orthographisch projizierten Strecke (rechts: schwarze Punkte) in Einheitslänge 1 ebenfalls auf diese Länge vergrößert (links: farbige Punkte). Schließlich wurde gnomonisch-gebrochen projizierte Strecke für einen einfach erkenbaren Vergleich mit der orthographisch projizierten Strecke nach rechts hinüber gespiegelt.

Die durch gnomonisch-gebrochene Projektion erhaltene Strecke ist in ihrem mitteren Bereich gedehnt (was in den Endregionen durch örtliche Stauchung wieder ausgeglichen wird). Die in Abb.3 durch Vergleich mit Abb.4 erkennbare Verzerrung wird bestätigt und quantitativ angegeben:
Die Breite des Gürtels innerhalb der Wendekreise wird auf das etwa 1,1-fache gedehnt (0,595/ 0,544 = 1,09;
n=1,50; φ=47°). Der Gürtel liegt näher beim Zentrum (roter Punkt) als bei orthographischer Projektion. Siehe auch die Gürtelbreite und -lagen (rote Strecken) in Abb.6.

4. Die durch Brechung veränderte Form der Stunden- und Deklinationslinien

Im vorherigen Abschnitt 3. wurde die nicht unwesentliche Verzerrung in einer Dimension, nämlich auf dem Meridian nachgewiesen. Im Folgenden soll untersucht werden, wie gut die Ähnlichkeit des gnomonisch-gebrochen projizierten Himmels im Allgemeinen - d.h. in beiden Dimensionen - mit einem orthographisch projizierten Bild des Himmels und der Erde ist. Dabei geht es im Besonderen darum, ob die Stunden- und Deklinationskreise als Ellipsen abgebildet werden, oder welche Abstriche davon gemacht werden müssen.

Abb.8  Die Koordinaten-Kreise am Himmel
           (ortsfestes Äquatorialsystem)

           rot: Stunden-; blau Deklinations-Kreise
           (schwarz: Horizont)

Im als sphärische Fläche angenommenen Himmel sind die Stundenlinien (τ =konst.) halbe Großkreise (rot in Abb.8) und die Deklinationslinien (δ =konst.) Kleinkreise (blau) oder Teile von ihnen (je nach geographischer Breite φ). In orthogonaler Projektion auf eine Ebene sind sie halbe Ellipsen bzw. ganze Ellipsen oder Stücke von ihnen (Abb.4). Ob sie das in gnomonischer Projektion mit Brechung auch oder näherungsweise auch sind, ist zu untersuchen.
Die auf Sonnenuhrenzifferblättern enthaltenen Stunden- und Deklinationslinien sind i.d.R. nur ziemlich kleine Teile der ursprünglichen Kreise. Wegen der besseren Erkennbarkeit werden im Folgenden immer die Abbildungen ganzer Kreise gezeigt.

4.1 Die durch Brechung veränderte Form der Stundenlinien

Die Stundenkreise sind Großkreise. Weil sie alle gleich groß sind und sich ihre Mittelpunkte im gnomonischen Projektionszentrum befinden, ist zu erwarten, dass sich ihre Abbildung - auch gnomonisch-gebrochen - als einfacher verständlich als die der Deklinationskreise erweist. Die Mittelpunkte der Deklinationskreise (Ausnahme: der Himmelsäquator) befinden sich abseits des Projektionszentrums (lediglich alle auf der Himmelsachse). Erwartet werden kann auch, dass die Formänderung der Großkreise beim Abbilden milder ausfällt als die der Kleinkreise mit abseits liegenden Mittelpunkten und zusätzlich noch veränderlichen Durchmessern.

Abb.9  gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
           eines Stundenkreises (τ=45°)
           auf horizontale Bildfläche
           Beobachtungsort: φ=47°
           ausführliche Konstruktion: s. Anhang 2

Die von einem Stundenkreis kommenden, alle in einer Ebene (Stundenebene) verlaufenden Lichtstrahlen werden im Projektionszentrum beim Übergang ins optisch dichtere Medium gebrochen. Danach befinden sie sich auf der Mantelfläche eines Kegels mit elliptischem Querschnitt. Auf einer gedachten, die ebene Bildfläche (zur Trennfläche zwischen den beiden optisch verschieden wirkenden Stoffen parallel) der Einfachheit halber berührenden sphärischen Bildfläche wird der Stundenkreis als Ellipse abgebildet. Diese ist gemäß Snellius'schem Brechungsgesetz lediglich verkleinert ähnlich derjenigen Ellipse, die bei orthographischer Projektion auf der Bildebene entsteht (Zwischenbild). Die gnomonisch-gebrochene Abbildung ist von der gedachten sphärischen Bildfläche aus weiter bis zur Bildebene zu verfolgen. Dabei werden alle vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehenden, zu Ellipsen-Punkten zeigenden Vektoren mit dem Faktor tanα / sinα (α = Austrittswinkel der Lichtstrahlen am brechenden Punkt / Gnomon) verlängert. Dieser Faktor ist zwar nicht konstant, die Ellipsenform bleibt aber erhalten. Das kann daraus gefolgert werden, dass bei φ = 0° und
τ = 90° der Grenzfall Kreis auch als Kreis abgebildet wird. Verändert ist lediglich das Achsenverhältnis a/b im Vergleich zur bei orthographischer Projektion entstehenden Ellipse. Im Beispiel von Abb.9 wird die gnomonisch-gebrochen entstehende Ellipse etwa 25% schlanker. Bei
φ = 0° entstehen dickere Ellipsen im Bild: τ = 30°: 27% verdickt; τ = 60°: 10% verdickt.

In der Arbeit [2] (2019) ist der Nachweis geschlossen erbracht: Ellipsengleichung für die gebrochene gnomonische Projektion eines Stundenkreises, (A6) .

4.2 Die durch Brechung veränderte Form der Deklinationslinien

Abb.10  gnomonisch-gebrochene Projektion (n=1,5)
           des Wendekreis des Krebses (δ=+23,5°)
           auf horizontale Bildfläche
           Beobachtungsort: φ=47°

Im Unterschied zu den Stundenkreisen haben die Deklinationskreise keine besondere Lage relativ zum Gnomon: Ihre Mittelpunkte decken sich nicht mit dem Gnomon. Die von einem Deklinationskreis zum Gnomon gehenden Lichtstrahlen befinden sich bereits auf einem Kreiskegel-Mantel (Deklinationskegel) und nachher im optisch dichteren Medium auf dem Mantel eines elliptischen Kegels. Unterschiedslos zu den Stundenkreisen werden die Deklinationskreise in der gedachten sphärischen Bildfläche ebenfalls als Ellipsen abgebildet. Ein Unterschied tritt erst bei der Weiterverfolgung dieses Zwischenbildes hin zur ebenen Bildfläche auf. Die tanα/sinα-Verlängerung betrifft hier nicht die regulären Ellipsenpunkt-Radien (vom Ellipsen-Mittelpunkt ausgehende Vektoren) sondern von einem exzentrischen Punkt ausgehende Vektoren. Der variierende Verlängerungsfaktor ist nur noch für je 2 Punkte gleich. Die Ellipse wird in eine geschlossene Kurve verzerrt, die nur noch aus zwei spiegelbildlich gleichen Teilen besteht (Abb.10).

5. Zusammenfassung

Mein erster Eindruck bei der neuerlichen Erwähnung [2] von Schilt's Sonnenuhr im Wasser, eine gleichwertige Alternative z.B. zur HELIOS kennen gelernt zu haben, hat sich nicht bestätigt. Das bei gnomonisch-gebrochener Projektion zu verwendende Zifferblattnetz ähnelt nur schwach dem Netz aus orthographisch projizierten Längen- und Breitengraden der Erde. Im Vergleich zur einfachen gnomonischen Projektion dieser Linien und der Grenzen zwischen Festland und Meeren der Erde ist der Gewinn deutlich. Es verbleibt aber immer noch eine erhebliche Irritation, wenn man sich anhand dieser Darstellung der Erde orientieren, z.B. den Subsolaren Punkt verfolgen will. Das Erdebild ist noch zu stark verzerrt. Am stärksten sind die Breitengrade (Deklinationslinien) betroffen, sie weichen deutlich von elliptisch geformten Linien ab. Die Längengrade (Stundenlinien) sind weniger verzerrt. Sie sind sogar elliptisch, haben nur eine andere Krümmung und sind seitlich verschoben. In den späteren als in der Schilt'schen Wasseruhr wird vorwiegend Acrylglas als höher brechendes Material (n=1,5) verwendet. Die Verzerrung ist dabei geringer, aber bei weitem noch nicht ausreichend. Optisch dichte Materialien gibt es ohnehin höchstens bis n=2. Sie sind teuer, und da bei größerem Brechungsindex die Schichtdicke vergrößert werden muss, würden die Kosten exponentiell ansteigen, ohne wesentliche Verbesserung erreicht zu haben.

Die "Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2] ist eine bemerkenswerte kompakte Sonnenuhr (Abb.11, links). Sie hat die Form eines flachen Würfels (Würfelsonnenuhr), an den nicht wie sonst üblich ein Polstab oder eine Gnomon vorgebaut ist. Die dadurch fehlende Sperrigkeit ist ein Vorteil für solche auf einer Fensterbank, einer Balkonbrüstung oder auf einem Gartentisch aufzustellende Sonnenuhren. Die zum Vergleich rechts in Abb.11 gezeigte, auch von der Rückseite ablesbare tragbare Vertikalsonnenuhr ist wegen des durchgehenden Polstabs noch etwas sperriger, aber mit dem Vorteil, dass auf diese Weise zusätzlich das Ablesen der frühen Morgen- und späten Abendstunden im Sommer möglich ist.
Die Stundenlininien in Erdgestalt weisen darauf hin, dass eine geometrische Gleichheit zwischen der (gedachten) Himmels- und der Erdkugel besteht. Mehr ist auf der von hinten abzulesenden Würfelsonnenuhr nicht möglich.

Abb.11  "Eine Sonnenuhr mit Stundenlinien in Erdgestalt" [2]
              im Vergleich mit einer ebenfalls vertikalen und von der Rückseite abzulesenden Sonnenuhr mit Polstab:
                   Stabschatten zwischen VI und VI Uhr auf durchscheinender Mattscheibe,
                   direkt ablesbarer Stabschatten in den frühen Morgen- und späten Abendstunden im Sommer

6. Literatur

7. Anmerkungen

8. Anhänge

8.1 Die durch Brechung veränderte Form des Wendekreis des Krebses bei φ = 0

Abb.Anhg.1 
gnomonisch-gebrochene Projektion des nördlichen Wendekreises an einem Beobachtungsort auf dem Äquator (φ=0°)
Ausführliche Darstellung der Konstruktion der in Ab.8 gezeigten gnomonisch-gebrochenen Projektion.

Anstatt der erwarteten Gerade ist das Bild des Wendkreises eine deutlich gebogene Linie.
Es wurden wurden insgesamt 5 Quer-Abstände ermittelt:
0,276 - 0,291 - 0,309 - 0,330 - 0,357.

Diese Konstruktion hatte ich als erste von der gnomonisch-gebrochenen Projektion eines Deklinationskreises gemacht. Sie gab mir sofort einen Hinweis darauf, dass Deklinationskreise verzerrt abgebildet werden. Dass hingegen der im Meridian liegende Stundenkreis (τ = 0°) als Gerade abgebildet wird, ist nicht als Hinweis dafür ausreichend, dass alle Stundenkreise Ellipsenform im Bild annehmen.

8.2 Beispiel einer ausführlichen Konstruktion einer gnomonisch-gebrochenen Projektion
       eines Stundenkreises

Abb.Anhg.2  Ausführliche Darstellung der Konstruktion der in Ab.8 gezeigten gnomonisch-gebrochenen Projektion.
                    unten links: Objekt, Zwischenbild und Bild
                    rechts:        Konsruktion einiger Einfallswinkel ε
                    oben links:  Ansicht aus Ost,
                                      überlagert ist die Konstruktion der Strahl-Brechung in einigen dagegen um die Vertikale
                                      verdrehten Ebenen (grün, schwarz, magenta und rot)

8.3 Ein weiterer Prototyp einer Sonnenuhr mit Lichtbrechung

Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, Oktober 2020 (Aug. 2024)