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Gleiches Osterdatum nach fünf Jahren
Zusammenfassung
Der Ostersonntag fällt relativ oft nach bereits fünf Jahren auf das gleiche März- oder April-Datum. Es wird gezeigt, warum das so ist und mit welcher Häufigkeit ein solcher Fall auftritt.Inhalt
1. Einleitung2. Warum wiederholt sich das Osterdatum manchmal nach fünf Jahren ?
3. Wie groß ist die Häufigkeit dafür, dass sich das Osterdatum nach 5 Jahren wiederholt ?
4. Wiederholungsdaten im 13. bis zum 15. Jahrhundert (julianisch)
und im 19. bis zum 22. Jahrhundert (gregorianisch)
1. Einleitung ↑ Anfang
Auf die Tatsache der relativ häufigen Wiederholung des Osterdatums nach fünf Jahren machte ein Leser des Wikipedia-Eintrags Osterdatum aufmerksam. Nach anfänglicher Skepsis fand ich doch einige systematische Zusammenhänge heraus, die hier vorgestellt werden sollen.
2. Warum wiederholt sich das Osterdatum manchmal nach 5 Jahren ? ↑ Anfang
Die Ostergrenze, das ist das Datum des Frühlingsvollmondes, wiederholt sich regelmäßig erst nach je 19 Jahren. Gestört wird diese Regelmäßigkeit frühestens nach 100 Jahren, wenn wegen der kleinen Ungenauigkeit in der Bemaßung der 19-jährigen Meton-Periode eine bei der Gregorianischen Kalenderreform eingeführte Korrektur fällig ist. Der gegenwärtige Zeitraum, während dem eine solche Korrektur entfällt, ist ausnahmsweise besonders lang, er reicht vom Jahr 1900 bis zum Jahr 2199.
Das Datum des Ostersonntags kann sich schon nach 5 Jahren wiederholen, weil Ostern nicht am Tage des Frühlingsvollmondes, sondern am darauf folgenden Sonntag ist. Alle Vollmonde in den 7 Tagen vor diesem Sonntag haben ihn als Ostersonntag zur Folge. Und es gibt tatsächlich 5-Jahre-Intervalle, bei denen der Vollmond des ersten und des fünften Jahrs in diese 7 Tage fallen.
Diese 5-Jahre-Intervalle haben folgende Eigenschaft:
Es enthält 2 Schaltjahre. Dadurch hat ein Datum nach 5 Jahren wieder den gleichen Wochentag, zum Beispiel einen Sonntag, der für Ostern nötig ist. In 3 Normaljahren verschiebt sich ein Datum um je 1 Wochentag auf später, in den 2 Schaltjahren um je 2 Wochentage, was in der Summe 7 Tage sind. Das erste der beiden Schaltjahre ist das 2. Jahr; ein Schalttag im 1. Jahr wäre unwirksam, da er schon im Februar zugefügt wird. Das 2. Schaltjahr ist schon das 5. Jahr, also das letzte Jahr im Intervall.
Von Jahr zu Jahr erhält der Frühlingsvollmond in der Oster-Rechnung entweder ein 11(10) Tage früheres oder ein 19(18) Tage späteres Datum. Die Werte in Klammern gelten, wenn eine neue 19-Jahr-Reihe beginnt, die Goldene Zahl des Jahres von 19 zu 1 wechselt. Die Zuweisung eines späteren Datums erfolgt, wenn das vergangene Jahr mit einem Schalt-Monat auf 13 Mond-Monate verlängert werden musste, damit der zu beachtende Vollmond nicht vor den Frühlingsanfang (21. März) zu liegen kam. Es gibt nur 2 mögliche Kombinationen von 5 aufeinander folgenden Zuweisungen (Klammerwerte nicht berücksichtigt): 3 mal -11 Tage plus 2 mal +19 Tage gleich +5 Tage und 4 mal -11 Tage plus 1 mal +19 Tage gleich -25 Tage. Infrage kommt nur die Kombination, bei der der Vollmond nach 5 Jahren ein 5 Tage späteres Datum hat. Die Vorverschiebung um 25 Tage überschreitet die Länge einer Woche.
Der Wochentag des Vollmondes darf spätestens ein Samstag sein; wäre er ein Sonntag, würde sich Ostern um 1 Woche verschieben. Somit gelten nur Intervalle, in denen der Wochentag des 5 Tage früheren Vollmondes im 1. Jahr (Ausgangsjahr) ein Montag oder Sonntag ist. Solche Intervalle existieren, und es ist möglich, dass sich das Osterdatum manchmal nach fünf Jahren wiederholt.
3. Wie groß ist die Häufigkeit dafür, dass sich das Osterdatum nach fünf Jahren wiederholt ? ↑ Anfang
Von allen Intervallen, die Jahr für Jahr beginnen, scheiden 3 von 4 aus, denn ein brauchbares Intervall muss als 2. Jahr ein Schaltjahr enthalten.
Die Zahl der Intervalle ist nochmals mit 2/7 zu multiplizieren, weil nur 2 (Montag und Sonntag) von 7 Wochentagen für den Vollmondtag zur Verfügung stehen.
Die resultierende Wahrscheinlichkeit ist 1/4 mal 2/7 gleich 1/14.
Die Wiederholung des Ostersonntags nach fünf Jahren zum gleichen Datum findet in 100 Jahren durchschnittlich 7,14 mal statt.
4. Wiederholungsdaten im 13. bis zum 15. Jahrhundert (julianisch)
und im 19. bis zum 22. Jahrhundert (gregorianisch) ↑ Anfang
Die folgenden Tabellen bestätigen die oben angegebene Wahrscheinlichkeit für die 5-Jahre-Wiederholung des Osterdatums mit etwa 7,14 Fällen in 100 Jahren.
13. bis 15. Jahrhundert (julianisch) ------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 1203 1227 1247 1251 1271 1287 Ostern: 6.4. 11.4. 31.3. 16.4. 5.4. 6.4. 6 Fälle 5. Jahr: 1208 1232 1252 1256 1276 1292 ------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 1307 1311 1331 1335 1355 1379 Ostern: 26.3. 11.4. 31.3. 16.4. 5.4. 10.4. 6 Fälle 5. Jahr: 1312 1318 1336 1340 1360 1384 ------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 1399 1403 1423 1427 1447 1467 1471 1491 Ostern: 30.3. 15.4. 4.4. 20.4. 9.4. 29.3. 14.4. 3.4. 8 Fälle 5. Jahr: 1404 1408 1428 1432 1452 1472 1476 1496 ------------------------------------------------------------------------------- 19. bis 22. Jahrhundert (gregorianisch) --------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 1807 1811 1831 1835 1855 1875 1879 1895 1899 Ostern: 29.3. 14.4. 3.4. 19.4. 8.4. 28.3. 13.4. 14/15.4. 2/3.4. 7(+2) Fälle 5. Jahr: 1812 1816 1836 1840 1860 1880 1884 1900 1904 --------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 1915 1919 1939 1959 1963 1983 1987 Ostern: 4.4. 20.4. 9.4. 29.3. 14.4. 3.4. 19.4. 7 Fälle 5. Jahr: 1920 1924 1944 1964 1968 1988 1992 --------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 2007 2027 2051 2055 2071 2075 2099 Ostern: 8.4. 28.3. 2.4. 18.4. 19.4. 7.4. 12/13.4. 6(+1) Fälle 5. Jahr: 2012 2032 2056 2060 2076 2080 2104 --------------------------------------------------------------------------------- 1. Jahr: 2111 2115 2135 2139 2159 2179 2183 Ostern: 29.3. 14.4. 3.4. 19.4 8.4. 28.3. 13.4. 7 Fälle 5. Jahr: 2116 2120 2040 2144 2060 2084 2188 ---------------------------------------------------------------------------------
In den 7 ausgewählten Jahrhunderten gibt es 50 Wiederholungs-Fälle der untersuchten Art. Das sind tatsächlich 7,14 Fälle pro 100 Jahre im Durchschnitt. Die Paare 1895/1900, 1899/1904 und 2099/2104 sind mitgezählt, weil sie nur wegen einer Ausnahmeregel (keine Schalttage in den Jahren 1900 und 2100), die in der obigen Häufigkeitsbetrachtung nicht beachtet ist, abweichen.
Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, Juni 2011 (Juli 2011)