LogoSW

<< Home
<< andere Sonnenuhren-Beiträge

 ↓↓ Ende

Zum Nachdenken 2: Gleichzeitiger Sonnenaufgang in Hamburg und Wien

Rundschreiben Nr.54 der Arbeitsgruppe Sonnenuhren im Österreichischen Astronomischen Verein, Dezember 2017

Inhalt

1. Einleitung
2. Aufgabe
3. Vorüberlegungen
4. Lösung
5. Weitere Überlegungen
    5.1 Warum ist die Sonnendeklination bei Sonnenaufgang an den gefundenen zwei Tagen nicht gleich?
    5.2 Bedeutung der gegraphischen Längen von Hamburg und Wien
    5.3 Berechnung von δgenau
    5.4 An welchen Orten ist der Sonnenaufgang genau gleichzeitig?
    5.5 Wie groß ist der kleine Unterschied zwischen den Sonnenaufgangszeiten in Hamburg und Wien
          am17. Juli 2017?

6. Erkenntnis
7. Verweise
8. Zusatzaufgabe

1. Einleitung  ↑ Anfang

Obwohl Hamburg westlicher als Wien liegt, kann die Sonne im Sommer an zwei Kalendertagen etwa zur gleichen Zeit aufgehen. Ursache ist der umso längere lichte Sommertag, je größer die geographische Breite (φ) ist. In dieser Hinsicht ist das nördlicher als Wien gelegene Hamburg im Vorteil. In der Zeit um die Sommersonnenwende herum geht die Sonne in Hamburg sogar früher als in Wien auf. Wenige Wochen vorher und nachher beobachtet man in beiden Städten etwa gleichzeitigen scheinbaren Sonnenaufgang.

2. Aufgabe  ↑ Anfang

Um welche/s Datum/en und zu welcher/n Uhrzeit/en ist das im Jahr 2017 der Fall? (auf Minuten gerundete Uhrzeit/en … ausreichend.)

3. Vorüberlegungen  ↑ Anfang

Bei mathematischem Sonnenaufgang ist der Höhenwinkel der Sonne h=0°. Der Mittelpunkt der Sonne liegt dann auf dem (mathematischen) Horizont. Üblicherweise wird bereits das Erscheinen des oberen Sonnenrandes als Moment des Sonnenaufgangs bezeichnet. Der Höhenwinkel des Sonnenmittelpunktes ist in diesem Moment h ≈ -¼° (Sonnendurchmesser
h ≈ ½°). Wegen der besonders in Bodennähe wirksamen Lichtkrümmung in der Atmosphäre (Folge der sogenannten terrestrischen Refraktion [2]), kann man etwa 0,6° über den "Tellerrand" hinaus nach unten schauen. Der i.d.R. verwendete Höhenwinkel im Moment, in dem der Sonnenrand am Horizont erscheint (sogenannter scheinbarer Sonnenaufgang), ist die Summe aus beiden Werten:
h = - 0,833° (¼ ° + 0,6° ≈ - 5/6°).

Nebenstehende Abbildung zeigt nicht- maßstäblich (zu groß gezeichnete Winkel), dass der Sonnenrand von der Erde aus schon von einem Punkt auf dem Parallelkreis (Terminator) aus sichtbar wird.

Die interessierenden Größen Deklinations- (δ, für das Datum) und Stundenwinkel (Τ, für die Uhrzeit) der Sonne sind beide in Abhängigkeit vom Höhenwinkel h und der geographischen Breite φ in folgender bekannten Gleichung für die Berechnung des Höhenwinkels eines Himmelskörpers aus seinen äquatorialen Koordinaten Deklinations- und Stundenwinkel enthalten [3]:
(1)   sinh = sinφ sinδ - cosφ cosδ cosΤ     (Zentrum beider Koordinatensysteme ist der Ort der Beobachtung).
Im Folgenden wird die Umstellung (2) angewendet:
(2)   cosΤ = - (sinh - sinφ sinδ) / (cosφ cos δ) .

Die Sonnendeklination ist nicht vom Stundenwinkel unabhängig. Da sie sich aber über den nur einen Tag langen Berechnungszeitraum nur sehr langsam ändert, kann eine gute Näherungsberechnung des Stundenwinkels τ mit einer tageskonstant angenommenen Deklination erfolgen, z.B. mit δ12h (Deklination zu 12 h mittags).

4. Lösung  ↑ Anfang

Am Tag der Sommersonnenwende hat die Sonnendeklination ihren maximalen Wert δmax= 23,44°. Ebenso ist die Stundenwinkel-Differenz ΔΤHW = ΤHamb - ΤWien maximal, nämlich ΔΤHW ≈ - 7,0°
(zwei Rechnungen mit Gleichung (2) und φHamb = 53,6°, φWien = 48,2°).
Die Deklination ist als Funktion der Zeit annähernd eine Sinus-Linie, was in erster Näherung auch für die Stundenwinkel-Differenz angenommen werden kann.
An den zwei fraglichen Tagen gleichen scheinbaren Sonnenaufgangs in Hamburg und Wien vor bzw. nach der Sommersonnenwende ist die Stundenwinkel-Differenz ΔΤHW gleich der negativen Längengrad-Differenz ΔλHW.
ΔΤHW= - ΔλHW = - 6,3°
(ΔλHW = λHamb - λWien = 6,3°;     mit  λHamb = -10,0°   und   λWien = -16,3°).
Die Sonnendeklination bei ΔΤHW = - 6,3° ist in erster Näherung δ1.N = 21,1° (= 23,44°· 6,3 / 7,0).
Die entsprechenden annähernd passenden Kalendertage sind der 26. Mai und der 17. Juli 2017
(tabellierte Deklinationswerte 12h MEZ in [4]; 26. Mai: δ = 21,20°; 17. Juli: δ = 21,11°).

Rechnungen mit diesen δ-Tabellenwerten und Gleichung (2):

   δ= 21,20° am 26. Mai 2017
   ΤHamb = -123,53°    WOZHamb = 03,76h    WOZGörlitz  = 04,10 h = 04:06
   ΤWien  = -117,21°    WOZWien  = 04,19h    WOZGmund = 04,10 h = 04:06       ΔΤHW= - 6,32° (anstatt -6,30° >>
                   Sonne geht in Hamburg etwa 5 Sekunden früher als in Wien auf : 0,02°·4min/° = 0,08 min = 4,8 sec)*).
   MEZ = 04:03                (beachtete Zeitgleichung ZG ≈ +3 min; 12h- ZG-Wert [4])

   δ= 21,11° am 17.Juli 2017
   ΤHamb = -123,36°    WOZHamb = 03,78h    WOZGörlitz  = 04,11 h = 04:06
   ΤWien  = -117,08°    WOZWien  = 04,19h    WOZGmund = 04,11 h = 04:06       ΔΤHW= - 6,28° (anstatt -6,30° >>
                   Sonne geht in Hamburg etwa 5 Sekunden später als in Wien auf : 0,02°·4min/° = 0,08 min = 4,8 sec)*).
   MEZ = 04:12                (beachtete Zeitgleichung ZG ≈ -6 min; 12h- ZG-Wert [4])

*) Die Differenzen sind nur aufgeführt, um die zu erwartende Größenordnung zu zeigen, die sich hinter den auf die Minute gerundeten Ergebnissen verbergen. Sie haben keine absolute Bedeutung, da sie aus Näherungsrechnungen mit Verwendung von δ12h-Werten (anstatt von Werten bei Sonnenaufgang, d.h. von etwa δ04h Werten) stammen.

In den für die jeweils beiden benachbarten Kalendertage vorgenommennen Rechnungen weichen die Werte für ΔΤHW stärker vom Sollwert 6,3° als an den gefundenen Tagen ab. Ob an den benachbarten Kalendertagen der scheinbare Sonnenaufgang auch noch auf eine großzügig auf die gleiche Minute gerundete Uhrzeit fällt, wurde nicht untersucht.

Die bereits in grober erster Näherung gefundenen Kalendertage sind die gesuchten.
Die Aufgabe ist somit schon gelöst.

5. Weitere Überlegungen  ↑ Anfang

Weitere Überlegungen werden durch prinzipielle Ungereimtheiten, die wegen der relativ geringen Genauigkeitsansprüche vorerst in den Hintergrund gedrängt wurden, angeregt. Die Zusammenhänge werden erst deutlicher, wenn Zeitpunkte mit Sekundengenauigkeit angegeben werden, und wenn die geringe Änderung der Sonnendeklination über den Tag beachtet wird. Ihre Werte müssen dafür mit mehr als zwei Nachkommastellen berücksichtigt werden. Deshalb verwende ich wenigstens für die aus der Tabelle [4] (zwei Nachkommastellen) interpolierten Werte auch die dritte Nachkommstelle.
Anmerkung: Für qualitative Antworten (Vergleiche anstellen) mag diese "Überstrapazierung" der Tabellenwerte hinnehmbar sein. Bis zu einer späteren Überarbeitung werde ich mir aber geauere Werte beschafft oder solche selbst ermittelt haben.

5.1 Warum ist die Sonnendeklination bei Sonnenaufgang
       an den gefundenen zwei Tagen nicht gleich?   ↑ Anfang

Nachdem Sonnenaufgangsuhrzeiten von etwa 04 h bestimmt wurden, werden die zu dieser Zeit bestehenden Deklinationswerte - nicht die zur ersten Näherungsrechnung benutzen Werte zu jeweils 12 h MEZ - betrachtet.
Lineare Interpolation der Tabellenwerte [4] für MEZ = 04 h ergibt:
δ = 21,143° am 26. Mai 2017 (21,165° zu 07 h MEZ)   und
δ = 21,167° am 17. Juli 2017 (21,145° zu 07 h MEZ)

Dass beide Werte gleich sind, ist aus folgendem Grund prinzipiell nicht zwingend. Sie wären nur zufällig und näherungsweise gleich, wenn die Sommersonnenwende (δ ist maximal) am entsprechenden Junitag ebenfalls am Morgen zu etwa 4 h MEZ stattfände, denn die ungefähr sinusförmige δ(t)-Kurve verläuft annähernd symmetrisch beidseits dieses Maximum-Zeitpunktes. Im Jahr 2017 ist die Sommersonnenwende 5:24 MEZ, also nicht etwa 4 h MEZ, sondern deutlich später. Die Klammerwerte für 07 MEZ (etwa doppelt so viel später wie die spätere Sonnenwende) bestätigen diese Symmetrie: im Überkreuz-Vergleich etwa gleiche Werte.

Es ist aber zwingend, dass die Sonnendeklination für genau gleichzeitigen Sonnenaufgang in Hamburg und Wien an beiden Tagen genau gleich sein müsste, egal ob sie langsam größer (im Mai) oder kleiner (im Juli) wird. Weil das nicht zutrifft, ist der Sonnenaufgang in Hamburg und Wien nicht an beiden Tagen gleichzeitig. Er kann nur an einem dieser Tage und nur annähernd gleichzeitig sein. Warum das so ist und an welchem der beiden Kalendertage bessere Gleichzeitigkeit besteht, folgt aus den nächsten Überlegungen.

5.2 Bedeutung der gegraphischen Längen von Hamburg und Wien   ↑ Anfang

Gleichung (2) enthält die geographische Länge λ nicht, gilt also an jedem Ort gleichen Breitengrades φ. Die geographischen Längen von Hamburg und Wien wurden in obigen Rechnungen lediglich als Längengrad-Differenz
λHamburg - λWien = 6,3° ausgewertet. Diese Rechenergebnisse gelten somit nicht prinzipell für den Moment des Sonnenaufgangs in Hamburg und in Wien, sondern prinzipiell nur für zwei Orte mit λ1 und λ2, die zwar auf den Breitengraden von Hamburg bzw. Wien liegen, sonst aber lediglich die gleiche Längengrad-Differenz (λ1 - λ2 = 6,3°,
ΔΤ-Bedingung) wie diese beiden Städte haben. An diesen zwei noch nicht bekannten Orten findet der scheinbare Sonnenaufgang genau zur gleichen Uhrzeit statt. Dabei hat die Sonnendeklination den mit der ΔΤ-Bedingung der Augabenstellung indirekt vorgegebenen Wert δgenau.

Umgekehrt gesagt: Mit der ΔΤ-Bedingung ist der Wert von δgenau indirekt vorgegeben und kann berechnet werden. Damit ist aber lediglich eine allgemeine Aussage gemacht: Wenn die Sonnendeklination den Wert δgenau hat, verläuft der Terminator (h= - 0,833°) durch zwei Orte auf den Breitengraden von Hamburg und Wien und mit gleicher Längengraddifferenz wie diese. In welcher Lage sich die Erde bei ihrer Drehung um die eigene Achse im Moment δgenau befindet, bedarf weiterer Klärungen.

Insgesamt handelt es sich um vier noch unbekante Orte: ein Paar für den 26. Mai und ein Paar für den 17.Juli. Denn, dass an einem Ortepaar nicht prinzipiell an beiden Kalendertagen genau gleicher Sonnenaufgang sein kann, wurde oben (Abschnitt 5.1) besprochen. Das Städtepaar Hamburg und Wien hat nur zufällig und in jährlich verschieden großer Näherung gleichzeitigen Sonnenaufgang. Weil sich die Sonnendeklination sehr langsam über den Tag ändert, ist der Zeitunterschied aber immer viel kleiner als eine Minute. Die Welt-Städte Hamburg und Wien wurden vermutlich anstatt anonymer Orte 1 und 2 gewählt, um etwas Anschaulichkeit in die Problematik zu bringen (übrigens: in der Nähe von Hamburg bzw. Wien lebt je einer der beiden Aufgabensteller).

5.3 Berechnung von δgenau   ↑ Anfang

Der Index ..genau ist für das folgende Ergebnis nicht ganz korrekt, da die Rechnung numerisch-iterativ erfolgen und willkürlich bei genügend erscheinender Näherung an den genauen Wert abgebrochen wird.
Der Wert von δgenau wird sich zwischen 21,14° und 21,17° (siehe oben in Abschnitt 5.1) befinden.
Ich beginne die Iteration mit δ = 21,14° und führe sie in Schritten Δδ = +0,01° durch. Mit Gleichung (2) werden mit den geographischen Breiten von Hamburg bzw. Wien zwei Stundenwinkel berechnet und ihre Differenz ΔΤ = Τ1 - Τ2 schrittweise an ΔΤHW = - 6,3° genähert.
δ = 21,14°: ΔΤ = - 6,29754° ,
δ = 21,15°: ΔΤ = - 6,30179° .
Bis auf 2 Nachkommastellen ist bereits δ = 21,15° der gesuchte Wert für δgenau .
Für die Angabe mit 3 Nachkommastellen wäre mit δ-Vorgabewerten zwischen 21,14 und 21,15 weiter zu iterieren. Ich erspare mir den Aufwand und begnüge mich mit einer linearen Interpolation zwischen diesen Werten.     >>>>
δgenau = 21,146° .

Nachtrag (Aug. 18):

Rolf Wieland gibt in seiner Lösung (in [1, Juni 2018] leider nicht abgedruckt) eine geschlossen und anschaulich durchführbare Berechnung von δgenau mittels sphärischer Trigonomie an.
Er nutzt die Tatsache, dass die geographische Breite des Subsolaren Punktes auf der Erdoberfläche im Moment des scheinbaren Sonnenaufganges gleich ist der Zenitdistanz der Sonne an den Orten 1 und 2: z = 90°- h. Die geographische Breite φs dieses Punktes ist zudem gleich dem Deklinationswinkel δgenau der Sonne bzw. deren "Breite" an der Himmelskugel.

Ich habe nachträglich auch auf diese Weise gerechnet und δgenau = 21,1455° ermittelt (mein vierstelliger obiger Wert vor dem Runden: 21,1456°).

Die links gezeigte Abbildung Wieland's (Großkreise auf Erdoberfläche) macht die obige Aussage, dass nicht die absoluten Längengradwerte von Hamburg und Wien eine Rolle spielen, sondern nur ihre Differenz (und die absoluten Breitengrad-Werte der beiden Städte), anschaulich. Ins Endergebnis geht nur die Größe e ein, die lediglich eine Funktion von (λ1 - λ2) ist.

Rolf Wieland hat nachträglich auch meine Rechnung geschlossen (anstatt numerisch/iterativ) durchgeführt und
δgenau = 21,1458° erhalten.

5.4 An welchen Orten ist der Sonnenaufgang genau gleichzeitig?   ↑ Anfang

Diese Frage ist vergleichbar mit der nach dem Längengrad (das Längengradproblem), die sich insbesonders für die Navigation von Schiffen auf den Ozeanen stellt. Das Problem konnte erst vor etwa 150 Jahren gelöst werden, als eine an Bord genau genug gehende Uhr konstruiert worden war, die die auf einem Bezugslängengrad eingestellte Zeit (die dortige Ortszeit bzw. die Sonnenzeit dieses Ortes) während einer längeren Reise einhalten konnte. Die Differenz mit der Sonnenzeit am momentanen Ort des Schiffes (z.B. 12 h Mittag bei Sonne aus Süd) ergibt den Längengrad diese Ortes (eine Stunde Zeitdifferenz entspricht 15° Längengraddifferenz; westlicher, wenn die Uhr später als 12 h zeigt und umgekehrt).
Die vorliegende Frage ist auch nur mit Hilfe einer genau bekannten Uhrzeit beantwortbar, nämlich mit der des scheinbaren Sonnenaufgangs an einem Bezugslängengrad. Die Differenz mit der Uhrzeit, zu der die Sonne den vorgegebenen Deklinationswinkel δgenau einnimmt, führt zur Längengraddifferenz zwischen dem Bezugslängengrad und dem Ort mit Sonnenaufgang bei Deklinationswinkel δgenau (der gesuchte Ort befindet sich westlich des Bezugslängengrades, wenn seine Sonnenaufgangszeit später als die am Bezugslängengrad ist und umgeklehrt).
Beide Uhrzeiten können aus von astronomischen Diensten im voraus veröffentlichten Tabellen entnommen werden. Da ich die Geauigkeit der von mir benutzten Tabelle [4] etwas überstrapaziere, weise ich darauf hin, dass die folgenden Rechenergebnisse eventuell gerinfügig zu korrigieren sind. Weil es mir in erter Linie darum geht, den Lösungsweg zu beschreiben, begnüge ich mich auch mit eventuell geringfügig zu korrigierenden Sonnenaufgangszeiten, die ich für den gewählten Bezugslängengrad Hamburg selbst errechne. Dafür wiederhole ich die oben (Abschnitt 4.) vorgenommenen Rechnungen, allerdings mit den den Aufgangszeiten näheren δ04h-Werten, und ich rechne auf Stunden mit vorerst drei dezimalen Nachkommastellen. Runden auf relativ verlässliche Genauigkeit nehme ich erst am Schluss an den Ergebnissen für Δλ vor (ganzzahlige Winkel in Grad).

Die für MEZ = 04 h geltenden Deklinationswerte der Sonne sind (siehe Abschnitt 5.1):
δ04h = 21,143° am 26. Mai 2017 und
δ04h = 21,167° am 17. Juli 2017.
Sie werden für folgende Vergleiche gebraucht.

Am 26. Mai ist die Differenz zu δgenau äußerst klein. Die 0,003° größere Sonnendeklination für genau gleichen Sonnenaufgang wird erst zu etwas spätererer Uhrzeit erreicht (steigende Deklination mit fortlaufender Zeit im Mai).
Die aus der δ(t)-Tabelle [4] für δgenau = 21,146° linear interpolierte Uhrzeit ist am 26. Mai MEZ = 04,376 h.
Der scheinbaren Sonnenaufgänge in Hamburg findet zu MEZ 04,055 h statt (Rechnung wie in Abschnitt 4, aber mit
δ = 21,143°).
Die beiden Orte mit genau gleichzeitigem Sonnenaufgang befinden sich etwa 5 Längengrade westlicher als Hamburg bzw. Wien ((4,376 h - 4,055 h) · 15° / h = 4,82°).

Am 17. Juli wird der genau gleichzeitige Sonnenaufgang ziemlich entfernt von Hamburg und Wien erfolgen: δgenau ist deutlich kleiner als der Wert zu 04 h MEZ, der ungefähren Zeit des dortigen scheinbaren Sonnenaufgangs. Die 0,021° kleinere Sonnendeklination für genau gleichen Sonnenaufgang wird auch erst zu spätererer Uhrzeit erreicht (fallende Deklination mit fortlaufender Zeit im Juli).
Die aus der δ(t)-Tabelle [4] für δgenau = 21,146° linear interpolierte Uhrzeit ist am 17. Juli MEZ = 06,918 h.
Der scheinbaren Sonnenaufgänge in Hamburg findet zu MEZ 04,203 h statt (Rechnung wie in Abschnitt 4, aber mit
δ = 21,167°).
Die beiden Orte mit genau gleichzeitigem Sonnenaufgang befinden sich etwa 41 Längengrade westlicher als Hamburg bzw. Wien ((6,918 h - 4,203 h) · 15° / h = 40,73°). Ihre geographischen Breiten sind gemäß Voraussetzung gleich wie die von Hamburg bzw. Wien.

5.5 Wie groß ist der kleine Unterschied zwischen den Sonnenaufgangszeiten
       in Hamburg und Wien am 17. Juli 2017?   ↑ Anfang

Am 17. Juli 2017 geht die Sonne in Wien etwa zwei Sekunden später auf als in Hamburg
(δ = 21,167°, ΔΤHW = - 6,3088° (anstatt - 6,30°),
-0,0092° · 4min/° = -0,0368min ≈ -2,2sec;
oben unter 4. Lösung ein größerer Wert mit umgekehrten Vorzeichen, weil Näherung mit δ = 21,11° anstatt 21,167°).

Die Situation ist im nebenstehenden Bild schematisch dargestellt. Wien ist zur Zeit des scheinbaren Sonnenaufgangs ín Hamburg noch kurzzeitig im Schatten. Erst fast drei Stunden später hat sich der Terminator so weit "aufgerichtet", dass die beiden gleich weit wie Hamburg und Wien voneinander entfernten etwa 41° westlicheren Orte 1 und 2 genau gleichzeitigen Sonnenaufgang haben.

Der am 26. Mai errechenbare Unterschied ist kleiner als eine Sekunde und somit praktisch bedeutungslos.

6. Erkenntnis  ↑ Anfang

Meine weiteren Überlegungen waren wohl qualitativ erhellend, aber quantitativ nur viel Lärm um fast Nichts.

Die Erkenntnis ist, dass sehr kleine Änderungen (der Sonnen-Deklination) über die Zeit und Zufälle (die Sonnendeklination hat im Moment des Sonnenaufgangs an zwei Orten (Hamburg und Wien) und an einem bestimmten Kalendertag (26. Mai) den fast genau passenden Wert (21,143°)) das Verständnis eines Zusammenhangs sehr erschweren können.

7. Verweise   ↑ Anfang

[1]: Gerold Porsche und Kurt Descovich: "Zum Nachdenken", sonne+zeit (Rundschreiben der Arbeitsgruppe
      Sonnenuhren im österreichischen Astronomischen Verein), Nr. 54, Dezember 2017,
      eine der eingesendeten Lösungen in Nr. 55, Juni 2018

[2]: Wikipedia: "Terrestrische Refraktion"

[3]: Wikipedia: "Astronomische Koordinatensysteme, 4.3 Umrechnungen: Ruhende äquatoriale (Τ, δ) → ...
      → horizontale Koordinaten (a, h)
"

[4]: Helmut Sonderegger: "Tabelle der Sonnendeklination für das Jahr 2017" und "Zeitgleichung … für das Jahr 2017",
      Beilage in sonne+zeit (Rundschreiben der Arbeitsgruppe Sonnenuhren im österreichischen Astronomischen Verein),
      Nr. 52, Dezember 2016


8. Zusatzaufgabe  ↑ Anfang

Bei der Zusatzaufgabe Darstellung der Nacht-Tag-Grenze in einem Diagramm dachte ich an "Geochron", einem sogenannten "Global Time Indicator" (Bilder links). Auf der Erdkugel ist die idealisierte Grenze (h=0) ein Großkreis
(bei h < 0 ein ihm naher Parallelkreis), dessen Aussehen in einer Kartenprojektion von der Projektionsmethode abhängt (Geochron: Mercator-P., h=0). Im Laufe eines Jahres ändern sich in erster Linie die Winkelabweichung von der Nord-Süd-Linie (Hin-und Herkippen um einen Äquatorpunkt mit Rektaszension der Sonne +90° bzw. -90°, siehe Anmerkung).
In der Mercator-Projektion wechselt die Nacht-Tag-Grenze zwischen S- und ?-Form (s. Bilder links).

Anmerkung:
* Dass es sich um einen solchen Punkt handelt, ergibt sich aus folgenden Überlegungen:
* Am Äquator ist der Tag das ganze Jahr über idealisiert gleich, nämlich 12 Stunden lang. Die Nacht-Tag- und die Tag-Nacht- Grenze teilen den Äquator in zwei gleich Teilstücke (zwei 180° Bögen, in der Mitte eines dieser Bögen befindet sich der Meridian mit der Sonne).
* Alle (sich mit der Deklination ändernden) Grenzlinien passieren diese beiden Teilpunkte (das ist leicht erkennbar, weil der subsolare Punkt im Meridian bleibt). Im Einzelnen pendeln sie jeweils in einem dieser Punkte hin und her.

LogoSW Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf,
    August 2018

 ↑↑ Anfang

<< andere Sonnenuhren-Beiträge
<< Home