9 Balkenbiegung / Ingenieur / Wetzel
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Elastische Balken als Bestandteile von Feder-Gelenken
Beziehungen zwischen den Biegelinien von drei verschieden gelagerten und belasteten Balken konstanten Querschnitts

Inhalt

  1. Einleitung
  2. Zwei- und Dreiblatt-Federgelenk
  3. Einblatt-Federgelenk und Kreuz-Federgelenk
  4. Untersuchung eines Zweiblatt-Federgelenks von Claus Köpcke
  5. Beziehungen zwischen den Biegelinien von drei verschieden gelagerten und belasteten Balken
      konstanten Querschnitts


10. Anmerkungen
11. Literatur

1. Einleitung  ↑ Anfang

Im Artikel über die Elbe-Brücke "Blaues Wunder" von Claus Köpcke[1] in Dresden befasste ich mich mit den darin zwischen den vier großen massiven Brückenteilen und den Verankerungen an den Ufern eingebauten "Feder-Gelenken". Die als Blattfedern dienenden relativ dünnen Elemente verhalten sich wie schlanke, lediglich breite Balken, so dass die Zusammenhänge mit den bekannten, in technischen Nachschlagewerken "katalogisierten" Gleichungen beschreibbar sind. Das Grundelement ist das beidseitig fest eingespannte Federblatt, das als einer der ersten Fälle in solchen Nachschlagewerken aufgeführt ist. In der genannten Brücke werden an den Gelenk-Stellen aber zwei bis drei Federblätter verwendet (Abb.1), die sich nicht wie beim bekannten Kreuzfeder-Gelenk kreuzen, sondern in einer Ebene nebeneinander angeordnet sind. Den Versuch, das elastischen Verhalten solcher Kombinationen näherungsweise zu erfassen, setze ich hier mit eingeschränktem Erfolg fort.
Quasi nebenbei beschäftigte ich mit Zusammenhängen zwischen drei Standard-Fällen einzelner Federblätter (bzw. Balken mit bestimmter Einspannung und Belastung, [2] und [3]). Da über diese einem Elastostatiker naheliegenden Beziehungen in der Literatur offensichtlich nicht berichtet wird, werde ich mich hier dazu äußern. Das erlaubt mir, diesen Beitrag doch noch mit etwas "Handfestem" (s. den o.g. Untertitel) beenden zu können .

2. 2. Zwei- und Dreiblatt-Federgelenk  ↑ Anfang

Die einander ähnlichen Gelenke F und C (Abb.1) können aus je zwei federnden Stahl-Platten hergestellt werden. Durch die mittige Befestigung wird ihre jeweilige vertikale Platte in zwei Feder-Blätter unterteilt. Ob diese beiden im Vergleich zum Typ ;A um einen zusätzlichen Grad komplizierten Konstruktionen (3 anstatt 2 voneinander separierte Federblätter) im "Blauen Wunder" angewendet sind, ist mir nicht bekannt. Wenn, dann wäre nur das Anker-Gelenk betroffen, denn die Konstruktion des Scheitel-Gelenks in Brückenmitte ist anders, und sie ist mir relativ gut bekannt (Abbildungen 10 und 12 in [1]).

Da ich elastostatische Untersuchungen lediglich mit Hilfe der Ingenieur-Taschenbücher ([2] und [3], daraus Standard-Fälle für das einzelne Federblatt bzw. den Einzelbalken) und eines Bauelemente-Handbuchs ([4], daraus Grundsätzliches über das Einblatt- und das Kreuz-Federgelenk) anstellen möchte, wird wohl nicht über das 2-Blatt-Gelenk des Typs A, zu dem ich auch einen Versuch anstellte ([1], Abb.9, rechts), hinauszukommen sein.

            Anker-Gelenk     F                                Pylon-Gelenk     A                                 Scheitel-Gelenk    C
Abb.1   Blattfeder-Gelenke nach Köpcke für "versteifte 3-gelenkige Hängebrücke", dessen Prototyp das von ihm
            errichtete "Blaue Wunder" ist (Abb.7 in [1])

Bevor ich näher auf Köpckes Federgelenke (insbesondere auf Typ A) eingehen werde, erwähne ich den aktuellen Stand der Technik von Federgelenken.

3. 3. Einblatt-Federgelenk und Kreuz-Federgelenk  ↑ Anfang

Das einfache Federgelenk mit einem Federblatt und das Kreuz-Federgelenk mit zwei sich kreuzenden Federblättern werden in der Gerätetechnik häufig angewendet und sind in der Fachliteratur gut beschrieben [4], [5], [6].

Bei diesen Anwendungen sind die zu übertragenden Kräfte klein, die Schwenkwinkel hingegen groß (bis 30° und mehr). Bei Brückengelenken ist das umgekehrt (Schwenkung <1°). Selbst bei 10° Schwenkwinkel, der den bei Brücken und anderen Bauwerken realen Wert um eine Größenordnung übersteigt, verlagert sich der momentane Drehpunkt (Momentanpol) unerheblich, wie die folgende, aus [4] ermittelte Aufstellung zeigt:

Einblatt-               Kreuz-                   Federgelenk
längs   quer          längs   quer           y bzw.x (Abb.2)
0,1       2,5           0,05     0,007         Verlagerung in % von l

Mit Hilfe von z.B. eingefügter Drehgelenke werden Brücken u.a. gegen Längenänderungen der Brückenteile durch Temperaturänderungen unempfindlich gemacht. An der Änderung der Gesamt-Geometrie durch diese Längenänderungen sind die Drehpunkt-Verschiebungen beim Ausschwenken in dafür benutzten Federgelenken überdies nicht merklich beteiligt.

Abb.2                                  Einblatt-Federgelenk        Kreuz-Federgelenk                                                             [4]

Das Einblatt-Federgelenk soll nur mit einer Längskraft belastet werden, damit sich der Drehpunkt nicht zusätzlich verlagert. Theoretischer Vorteil der ausgeschlossenen Querkraft ist, dass der zu untersuchende Balken "reiner Biegung" (konstante Krümmung) unterliegt.
Am "Blauen Wunder" wurde diese einfache Lösung aus Festigkeitsgründen nicht angewendet, sondern für jede Hauptrichtung ein separates Federblatt eingebaut (jedes der beiden Blätter soll nur Längskräften ausgesetzt sein).

Beim Kreuz-Federgelenk können Zugkräfte in beiden Federblättern übertragen werden, so dass es sich auch für das "Blaue Wunder" geeignet hätte. Dass sich der Ort des Drehpunktes gegenüber dem Einblatt-Federgelenk besonders wenig verändert, ist nur bei großen Ausschwenkungen in der Gerätetechnik ein nutzbringender Vorteil (s. oben).

4. Untersuchung eines Zweiblatt-Federgelenks von Claus Köpcke  ↑ Anfang

Es handelt sich um den Typ A (Abb.1), an dem ich Modell-Versuche anstellte (siehe auch [1], Abb.9, rechts). Dabei stellte ich fest, dass sich die vertikale Feder S-förmig, aber nicht punkt-symmetrisch biegt, und dass das für das Ausschwenken erforderliche Drehmoment mehrfach größer ist als beim Weglassen dieser zweiten Feder. Ihre Biegung ist am der der Querfeder nahen Ende größer als am anderen Ende. Diese vorerst tendenziellen Beobachtungen waren der direkte Anlass dafür, mich im vorliegenden Artikel noch einmal damit zu befassen und wenn möglich, eine quantitative Beurteilung abzugeben.

Abb.3   Köpckes "Pylon-Gelenk" A,
            Modell mit Fahrradspeichen (Länge 50 mm)

Als gemeisamen Drehpunkt der Feder-Zweierkombination lässt sich mit guter Näherung die Mitte der Querfeder annehmen (Abb.3). Der biegsame Teil der mit dieser in gleicher Ebene befindlichen vertikalen Feder beginnt zwar nicht dort, weil Platz für das Einspannen erforderlich ist. Aber die vertikale Feder hat an ihrem oberen Ende doch immer die Richtung durch den Drehpunkt, was die weiteren Überlegungen erleichtert: Die Steifigkeiten der beiden Einzelgelenke aus Quer- bzw. Vertikalfeder lassen sich addieren (die beiden Federn sind "parallel geschaltet").

Für die vertikale Feder lässt sich der Fall 26. aus der folgenden Liste (Abb.xx) anwenden. Die beiden Einspannstellen bleiben zwar nicht ganz parallel, denn das äußere Ende bewegt sich beim Ausschwenken auf einem Kreis um den Drehpunkt. Aus Fall 26. lässt sich aber ableiten, was Abb.3 zeigt, dass nämlich die Biegelinie S-förmig, nur nicht ganz punkt-symmetrisch ist. Für letzteres ist gerade der Nichterhalt der Parallelität verantwortlich, denn die Feder behält außen nicht ganz die gleiche Richtung wie vorher bzw. nicht wie am oberen Ende. Das wird vorab erhellt, wenn man den Fall 26. als Kombination der Fälle 1. und 2. konstruiert (Abb.4).

Man denke sich zuächst die vertikale Feder unten nicht eingespannt, sondern nur durch eine am Ende quer wirkende Kraft P verformt (Fall 1.). Die Feder wird einseitig gekrümmt gebogen (maximale Krümmung an der Einspannstelle oben, keine Krümmung am freien Ende).
Nun biegt man die derart gebogene Feder (Anmerkung 1) ein zweites Mal, indem man ein Drehmoment M0 an ihrem freien Ende anlegt (Fall 2.). Das Moment ist rückdrehend und sei gerade so groß, dass die Tangente am Federende die gleiche Richtung wie am Anfang hat bzw. der an der Einspannstelle parallel gerichtet ist. Das Ergebnis deckt sich mit dem Fall 26., wenn das (über die ganze Federlänge konstant wirkende) Moment M0 = P·l/2 ist (im Fall 1. ist P·l das Moment an der Einspannstelle). Die Feder ist punkt-symmetrisch S-förmig gebogen.

↑ ↑ Abb.5  Fall 26.a (Variante von Fall 26.): M(x) = P(l-x) - M1

< < Abb.4  Fall 1. + Fall 2. = Fall 26.

Im untersuchten Fall (Abb.3) ist die Rückbiegung M1 kleiner
(M1 < M0 = P·l/2). Es verbleibt eine kleine Unparallelität zwischen den Federenden. Der untere Federteil ist weniger gekrümmt als der obere, und der Wendepunkt des S liegt näher beim unterenen Ende. Im Folgenden wird der Fall 26. entsprechend variiert (>> Fall 26.a) und dessen Biegelinioe nach bekanntem Vorgehen rechnerisch [7] hergeleitet.

Diese Herleitung erfolgt mit M1 als eine noch Unbekannte. Ihre Größe erhält man schließlich aus den Gleichungen für die gefundene Biegelinie der vertikalen Feder, denn deren Neigung am unteren Ende ergibt sich auch aus den geometrischen Zusammenhängen:
tan β ≈ β = f / R (s. Abb.3 und Abb.5).

Die Gleichung M(x) / EJ = w''(x) ist zweimal zu integrieren. Nach der ersten Integration erhält man die Neigung β(x) = w'(x) und danach die Gleichung der Biegelinie w(x) [7].
E = Elastizitätsmodul des Federstabmaterials; J = Flächenträgheitsmoment des Stabquerschnitts (konstant bei Stäben konstanten Querschnitts).

1. Integration:
w'(x) = ∫ M(x) dx / EJ = ∫ (P (l-x) - M1) dx / EJ= (P (lx - x2/2) - M1x + C1) / EJ
   Randbedingung: keine Neigung an der oberen Einspannstelle >> w'(x=0) = 0 >> C1=0
w'(x) = (P (lx - x2/2) - M1x) / EJ .

2. Integration:
w(x) = ∫∫ M(x) dx2 / EJ = ∫ (P (lx - x2/2) - M1x) dx / EJ = (P (lx2/2 - x3/6) - M1x2/2 + C2) / EJ .
   Randbedingung: keine Auslenkung an der oberen Einspannstelle >> w(x=0) = 0 >> C2=0
w(x) = (P (lx2/2 - x3/6) - M1x2/2) / EJ .

Bestimmen von M1:
[a]  1. Integration: β = w'(x=l) = (P (l2 - l2/2) - M1l) / EJ
[b]  Geometrie: β = f / R; mit R = 4l/3 (s.Abb.3)  >>  β = 3f/4l
          2. Integration: f = w(x=l) = (P (l3/2 - l3/6) - M1l2/2) / EJ .
          β = 3/4 ((P (l2/2 - l2/6) - M1l/2)) /EJ .
Gleichsetzen ([a] = [b]): (P (l2 - l2/2) - M1l)  =  3/4 ((P (l2/2 - l2/6) - M1l/2)  >>  M1 = (2/5) Pl .
         Anmerkung: mit R=l ist M1=Pl/3, und mit R= ist M1=Pl/2=M0 (Fall 26.).



WIRD FORTGESETZT



5. Beziehungen zwischen den Biegelinien von drei verschieden gelagerten und
    belasteten Balken   ↑ Anfang


Abb.xx   "Balken mit verschiedener Lagerung und Belastung" Auszug aus einer Tafel in [2]

10. Anmerkungen  ↑ Anfang

Anmerkung 1: Anstatt sich zu merken, dass die Kraft P weiter besteht und im zweiten Schritt im Moment M0 wieder auftaucht, kann es anschaulicher sein, sie als erledigt zu betrachten und mit einer Federform weiter zu arbeiten, die durch ihre Wirkung enstanden ist.

11. Literatur  ↑ Anfang

[1]  Siegfried Wetzel: Die Elbe-Brücke "Blaues Wunder"
[2]  HÜTTE - des Ingenieurs Taschenbuch, theoretische Grundlagen, Ernst & Sohn, 1955, Seiten 872 bis 891
                    (insbesondere: Seiten 872 und 884)
[3]  DUBBEL - Taschenbuch für den Maschinenbau, Band I, Springer, 1955, Seiten 354 bis 363
[4]  Siegfried Hildebrand: Feinmechanische Bauelemente, Hanser 1968, Seiten 429 bis 433
[5]  Hartwig Hasselmeier: Kreuzfedergelenke, Jenaer Jahrbuch 1951, Kommissionsverlag G. Fischer
[6]  Werner Lotze: Grundzüge der Kinematik von Biegefederaufhängungen, Wissenschaftliche Zeitschrift der
                           TU Dresden, 1963, Heft 6 (Vorabdruck aus der 1965 vorgelegten Dissertation des Verfassers)
[7]

LogoSW Siegfried Wetzel,  CH 3400 Burgdorf,  Mai 2019

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