Gezeiten / Astronomie / Wetzel

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Gezeitenkräfte

Inhalt

1. Einleitung
2. Erklärungen und Berechnungen
2.1 Zwei Himmelskörper umrunden sich gegenseitig
2.2 Die Gezeitenkraft des Mondes
2.3 Die Gezeitenbeschleunigung des Mondes
2.4 Werte der vom Mond verursachten Gezeitenbeschleunigung auf der Erde
2.5 Erklärung der Gezeitenkräfte für einen auf der Erde ruhenden Beobachter
2.6 Werte der von der Sonne verursachten Gezeitenbeschleunigung auf der Erde
3. Anmerkungen

1. Einleitung ↑ Anfang

Die als Ebbe und Flut bekannten Gezeiten sind eine Folge von vorwiegend zwischen Mond und Erde wirkenden Anziehungskräften (Gravitationskräften). Solche Kräfte wirken grundsätzlich zwischen allen Himmelskörpern, wobei sie umso stärker sind, je enger die Nachbarschaft zwischen den Körpern ist. In Anlehnung an das irdische Gezeitenphänomen nennt man sie Gezeitenkräfte. Dass sie zu Ebbe und Flut führen, gilt aber nur auf der Erde, die als einziger Himmelskörper Wasser - insbesondere in Massen in ihren Ozeanen - besitzt. Die anderen Himmelskörper werden nur - wie der feste Erdkörper zusätzlich zu den Gezeiten auch - durch Gezeitenkräfte elastisch und z.T. bleibend verformt.

Ich erkläre das Entstehen der Gezeitenkräfte, leite die dafür benutzbaren Formeln ab und berechne die auf der Erde durch ihre Nachbarschaft mit Mond und Sonne bewirkten Kraft-Größtwerte.

Auf die Auswirkungen der Gezeitenkräfte als Ebbe und Flut auf der Oberfläche der sich um sich selbst drehenden Erde gehe ich nicht ein.

2. Erklärungen und Berechnungen ↑ Anfang

2.1 Zwei Himmelskörper umrunden sich gegenseitig ↑ Anfang

Die Anziehungskraft zwischen den Himmelskörpern bewirkt, dass sich diese einander umrunden. Da sie frei beweglich sind, werden sie nach dem Grundgesetz der Mechanik (erstes NEWTONsches Axiom) durch diese Kraft beschleunigt. Als beschleunigte Bewegung ist je eine stabile elliptische Umlaufbewegung entstanden, denn bei geradlinig beschleunigter Bewegung hätten sie sich vereinigt und würden individuell nicht mehr existieren.

← Abb.1 Zwei Himmelskörper umrunden sich gegenseitig
Wikipedia

In Abb.1 ist eine solche gegenseitige Umrundung schematisch dargestellt. Die Bahnzentren der beiden Körper sind ihr gemeinsamer Schwerpunkt (Barryzentrum). Gezeigt sind Kreisbahnen, wie sie bei den meisten Himmelskörpern näherungsweise anstatt ausgeprägter Ellipsen vorkommen. Das Barryzentrum befindet sich auf der Verbindungsgeraden der beiden Körperschwerpunkte, wobei es auch innerhalb eines der beiden Körper liegen kann. Letzteres ist bei der Paarung Erde|Mond der Fall, denn die Erdmasse ist etwa achtzig mal größer als die des Mondes.

Die Anziehungskraft F_G zwischen den Körpern der Masse m₁ und m₂ wird mit dem prinzipiell schon von NEWTON in den 1680er Jahren gefundenen Gravitationsgesetz bestimmt. Es lautet heute:
F_G = G · m₁ · m₂ / r₀² (r₀ ist der Abstand zwischen den Schwerpunkten der beiden Körper).
Die Gravitationskonstante G hat CAVENDISH etwa 110 Jahre später erstmals bestimmt: G = 6,75·10^-11 m³kg^-1s^-2
(heute: 6,674·10^-11).

Die Anziehungskraft findet sich als Radialkraft F_R, die die beiden Körper auf ihre jeweilige Umlaufbahn (ich beschränke mich auf kreisförmige Umläufe) zwingt, wieder:
F_R= m · r · ω² (r ist der jeweilige Abstand der Masse vom Barryzentrum).
Da es sich um dieselbe Kraft F_R = F_G und um die dieselbe Winkelgeschwindigkeit ω handelt, muss m₁·r₁ = m₂·r₂ sein. (kleinere Masse m | größerer Abstand r bzw. größere Masse m | kleinerer Abstand r)
In die oben gemachte Aussage, dass die beiden Körper um das Barryzentrum rotieren, ist diese Bedingung bereits eingegangen.

2.2 Die Gezeitenkraft des Mondes ↑ Anfang

Die Gravitationskraft (Anziehungskraft) ist nicht an allen Stellen der beteiligten Körper gleich. Die örtliche Ungleichheit ist die Ursache der Gezeiten und ist umso ausgeprägter je kleiner der Abstand zwischen den Körpern wie z.B. bei zentralen Himmelskörpern mit Planeten oder Monden ist. Hier haben die Gezeiten nicht vernachlässigbare Auswirkungen sowohl auf den Zentralkörper als auch auf seine Satelliten.

Im Folgenden werde ich mich darauf beschränken, diese Auswirkungen am Beispiel unserer Erde zu besprechen. Haupt-Wirkungspartner ist der Erdmond. Auf die Rolle der Sonne gehe ich anschließend noch kurz ein.

← Abb.2 Anziehungskräfte (Gravitationskräfte) des
Mondes an der Oberfläche und im Inneren der
Erde (im Schwerpunkt als Mittelwert)
und resultierende Gezeitenkräfte

In Abb.2 sind an mehreren Stellen der Erde die unterschiedlich großen Anziehungskräfte, die vom rechts befindlichen Mond ausgehen, als grüne Pfeile dargestellt. Die blauen Pfeile zeigen die Differenz zwischen der je an der Oberfläche und der mittleren im Erdinneren wirkenden Anziehungskraft (als mittlere gilt die im Erdmittelpunkt wirkendende). Die Kraftdifferenzen (nicht die gegenseitig verrechneten Kräfte), werden als Gezeitenkräfte bezeichnet (Anmerkung 1).

Die Drehung der Erde um sich selbst bleibt unbeachtet, denn welche Orte mit bestimmten geographischen Koordinaten auf der Erde zu welchen Zeitpunkten betroffen sind, ist für die Vorarbeit, erst einmal die Gezeitenkräfte zu ermitteln, nicht relevant.

An der dem Mond zugewendeten Seite ist die Anziehungskraft etwas größer als im Erdmittelpunkt. Die einigermaßen starre Erdkruste gibt diesem Kräfteunterschied kaum nach (Anmerkung 2). Sie verhält sich faktisch so, als wirke in ihr die gleiche Anziehungskraft wie im Erdmittelpunkt. Das frei bewegliche Wasser der Ozeane folgt der stärkeren Mondanziehung aber. Es bewegt sich zum Mond hin und bildet einen Flutberg.

An der entgegengesetzten Seite der Erde verhält es sich gerade umgekehrt. Dort ist die Mondanziehung etwas geringer als im Erdmittelpunkt, was sich aber nur auf das Wasser der Ozeane auswirkt. Es bewegt sich vom Mond, aber auch von der Erde weg und bildet hier ebenfalls einen Flutberg.

2.3 Die Gezeitenbeschleunigung des Mondes ↑ Anfang

Die Bearbeitung wird anstatt wie bisher mit Kräften F im Folgenden mit Beschleunigungen a fortgesetzt. Die Beschleunigung ist formal die Normierung der Kraft auf die Masse, die beschleunigt wird.
a = F / m
ist als entsprechende formale Darstellung eine Umstellung des NEWTON'schen Grundgesetzes für die beschleunigte Bewegung, dessen übliche Schreibweise F = m ·a (Kraft gleich Masse mal Beschleunigung) ist.

Die Gravitationsbeschleunigung ist
a_G = G·M / r² (anstatt r₀ wie oben steht hier r, da auch Stellen außerhalb des Erdmittelpunktes betroffen sind).
Sie anstatt der Gravitationskraft F_G = G·m₁·m₂ / r² zu verwenden, hat den Schreib-Vorteil, dass ein um eine Größe
(m₁ herausgekürzt (m₂ wurde zu M=Mondmasse)) kürzerer Ausdruck vorliegt, und den arbeitstechnischen Vorteil, dass noch keine Festlegung auf die zu beschleunigende Masse (m₁ >> m, die Erde als Ganzes oder Teile von ihr) besteht.

Typischerweise werden die Differenzen Δa_G der Gravitationsbeschleunigung an den beiden mittleren Randpunkten der Erde zur Gravitationsbeschleunigung im Erdmittelpunkt gesucht. Der Abstand dieser Punkte vom Mondmittelpunkt ist r = r₀ ± R (R=Erdradius). Die Beschleunigungsdifferenzen heißen analog zu den entsprechenden Kraftdifferenzen Gezeitenbeschleunigungen.
Δa_G = a{r₀±R} − a{r₀} = G·M / (r₀ ± R)² − G·M / r₀²
Durch Umformen und Anwendung einer Näherung (siehe hier unter 3.1.1.1 Herleitung) erhält man

Δa_G ≈ ∓ 2·R·G·M / r₀³

In dieser Schreibweise gilt die Gleichung nur für die beiden mittleren Randpunkte der Erde (größte Mondnähe bzw. -ferne). Sie lässt sich ohne Weiteres allgemein als für jeden beliebigen Oberflächenpunkt gültige Vektorgleichung formulieren. In der Abb.2 ist diese Allgemeingültigkeit für eine größere Zahl von Oberflächenpunkten in Form von Vektoradditionen graphisch dargestellt.

2.4 Werte der vom Mond verursachten Gezeitenbeschleunigung auf der Erde ↑ Anfang

Mit den Werten für R, G, M und r₀
R = 6,371·10⁶ m, mittlerer Radius der Erde,
G = 6,674·10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻², Gravitationskonstante (s.o.),
M = 7,349·10²² kg, Masse des Mondes und
r₀ = 3,844·10⁸ m, mittlere Entfernung des Mondes von der Erde
ergeben sich für die Gezeitenbeschleunigung an den mittleren Randpunkten die Werte
Δa_G ≈ ∓ 1,100·10⁻⁶ m/s²
(Gravitationsbeschleunigung im Erdmittelpunkt: a_G0 = G·M / r₀² = 3,319·10^-5 m/s²)

Weil r (=r₀±R) quadratisch in die Rechnung eingeht, sind die beiden Randwerte absolut nicht gleich groß. Bei Verzicht auf die oben erwähnte Näherung bei der Herleitung der Gleichung für Δa_G wird das auch rechnerisch deutlich.
Die Gleichung lautet dann
Δa_G = G·M·( (1 / (1 ± R / r₀)² ) - 1 ) / r₀² (siehe hier unter 3.1.1.1 Herleitung),
und die Rechnung ergibt die beiden in absoluter Höhe nicht ganz gleichen Werte:
Δa_G1 = − 1,074·10⁻⁶ m/s² (mondabgewendete Seite),
Δa_G2 = + 1,128·10⁻⁶ m/s² (mondzugewendete Seite).

Vergleiche:

Die absoluten Werte von Δa_G1 und Δa_G2 weichen etwa ±2,5% vom Mittelwert Δa_G ab. Die Gravitationsbeschleunigung im Erdmittelpunkt ist etwa das 30-fache der Gezeitenbeschleunigungen (Anmerkung 1 und Anmerkung 3).

Die an der Erdoberfläche von ihr selbst erzeugte Gravitationsbeschleunigung (Erdbeschleunigung) g = 9,81 m/s² ist etwa zehnmillionenmal größer als die Gezeitenbeschleunigungen, weshalb Letztrere den Meeresspiegel auch nur um wenige Dezimeter anheben können.

2.5 Erklärung der Gezeitenkräfte für einen auf der Erde ruhenden Beobachter ↑ Anfang

Ruhendes und beschleunigtes Bezugssystem:
In den bisherigen Erklärungen wurde ein Beobachter angenommen, der außerhalb der Erde ruht: ruhendes Bezugs- bzw. sogenanntes Inertial-system. Sein Bezugspunkt ist das Barryzentrum, um das sich Erde und Mond bewegen. Er weiß, dass die Gravitationskräfte als Radialkräfte wirken und die Umlaufbewegungen von Erde und Mond erzwingen.
Ein (beim Umlauf mitbewegter und mitbeschleunigter) Erdenbewohner verwendet bevorzugt die Erde als Bezugssystem für seine Beobachtungen: beschleunigtes Bezugssystem. Mehr als die infolge des Erdumlaufs entstehenden Zentrifugalkräfte (Fliehkräfte) auf Körper, die auf der Erde frei beweglich sind, lassen sich aber nicht beobachten. Aus ihnen allein lassen sich insbesondere die auf das Ozeanwasser wirkenden Gezeitenkräfte nicht ermitteln. Die Gravitationskräfte zwischen Erde und Mond, die man schlüssig nur als außen stehender Beobachter beschreiben kann, müssen bekannt sein.

Dynamisches Gleichgewicht zwischen Gezeiten-, Gravitations- und Zentrifugal-Kräften:

Von den auf der beschleunigten Erde beobachtbaen Zentrifugalkräften muss man aber nicht unbedingt abrücken. Man kann eine sogenannte dynamische Gleichgewichts-Untersuchung anstellen (Anmerkung 4). Am untersuchten Punkt auf der Erdoberfläche fügt man Fliehkraft und Gravitationskraft zusammen und erhält als Ergebnis die Gezeitenkraft (zusammen befinden sich die drei Kräfte im Gleichgewicht; durch das Zusammenfügen wird die Frage nach dem Bezugssystem irrelevant). In der Literatur wird diese Verknüpfung öfters beschrieben. Ich gehe auch kurz darauf ein, obwohl dadurch das Verständnis für das Gezeitenkraft-Phänomens nicht zusätzlich gefördert wird. Weder die bisher angestellten noch die folgendenen Überlegungen finden wegen der schier unendlichen Größe des untersuchten Gegenstands Unterstützung durch anschaulich Erlebbares, wie es z.B. auf einem Karussell möglich ist. Es bleibt bei reiner Kopfarbeit (Anmerkung 5).

Abb.3 links: Revolution (Umwälzbewegung ohne Rotation) der Erde; von außerhalb der Erde beobachtet; Wikipedia
Mitte: Umwälzbewegung im Moment, wenn Mond rechts ist: Zentrifugalkräfte (rote Balken) zeigen nach links
(Anmerkung 6)
rechts: dynamisches Gleichgewicht zwischen Gezeiten-, Gravitations- und Zentrifugal-Kräften

Das
örtliche Zusammenfügen (Addieren) von Zentrifugalkräften und Gravitationskräften (Abb.3, rechts)
ist der prinzipiell gleiche Vorgang wie das bisher vorgenommene
Subtrahieren einer mittleren Gravitationskraft von örtlichen Gravitationskräften (Abb.2).

Über das dynamische Gleichgewicht zwischen Gezeiten-, Gravitations- und Zentrifugal-Kräften ist somit alles gesagt.
Die das Gesagte unterstützenden beiden Abbildungen, die sich nur in der Beschriftung der roten Pfeile unterscheiden, sind für erleichterten Vergleich in Abb.4 nebeneinander montiert. Noch folgende Gleichungen können als Beigabe angesehen werden.

Abb.4 Abb.2 und Abb.3 (rechts) sind nebeneinander montiert.

Beigabe:

Subtraktion von Gezeitenbeschleunigungen ( s. Abschnitt 2.3):
Δa_G = a{r₀±R} − a{r₀}
Die entsprechensde Gleichung für die Gezeitenkraft (anstatt für die Gezeitenbeschleunigung) lautet :
ΔF_G = F_G{r₀±R} − F_G{r₀}
Die Fliehkraft F_F ist auf der umgewälzten Erde überall gleich groß, der mittleren Gravitationskraft F_G{r₀} (Radialkraft) betragsgleich und in entgegengesetzte Richtung wirkend (Anmerkung 7). Die Subtraktions-Gleichung ändert sich damit zur folgenden Additions-Gleichung:

ΔF_G = F_G{r₀±R} + F_F

In dieser Schreibweise gilt die Gleichung nur für die beiden mittleren Randpunkte der Erde (größte Mondnähe bzw. -ferne). Sie lässt sich ohne Weiteres allgemein als für jeden beliebigen Oberflächenpunkt gültige Vektorgleichung formulieren. In der Abb.3, rechts ist diese Allgemeingültigkeit für eine größere Zahl von Oberflächenpunkten in Form von Vektoradditionen graphisch dargestellt.

Zugabe:

Das Gesagte möchte ich lediglich noch etwas dicker unterstreichen. Dazu gehört der Feststellung, dass keinerlei weitere rechnerische Arbeit erforderlich ist. Die wenigen einschlägigen Bemerkungen können aber Lesern dienen, die noch etwas Rechenübung, z.B. in Form von Kontrollrechnungen anstellen möchten. So lassen sich z.B. aus den Vorgabewerten der bisher verwendeten Größen die Werte für die Masse der Erde und die Periode des synodischen Mondumlaufs von reichlich 27 Tagen errechnen.

Weil mit dem dynamischen Gleichgewicht lediglich eine andere Darstellung des Gezeiten-Phänomens erfolgt, müssen keine weiteren als die bisher verwendeten Primär-Zusammenhänge bekannt sein:
F_G = G · m₁ · m₂ / r₀² bzw. F_G = G · E · M / r₀² (mit den Massen E und M von Erde und Mond)
F_R = m · r · ω² bzw. F_F = − E · r_E · ω² (Fliehkraft= F_F = − F_R =Radialkraft; mit Radius r_E der Erd-Revolution)

Es werden auch keine weiteren Vorgabe-Werte gebraucht als bisher:
Die Erdmasse E ergibt sich aus der des Mondes mit Hilfe der den meisten Lesern bekannten Verhältniszahl E/M= 81,2 .
Aus E/M = r_M / r_E und r₀ lässt sich beispielsweise r_E errechnen.
Aus den Primär-Zusammenhängen lässt sich die Gleichung ω² = G·M / (r₀²·r_E) ableiten und damit die Winkelgeschwindigkeit ω, mit der sich Erde und Mond gegenseitig umrunden, und daraus die Länge des siderischen Mond-Monats (etwa 27,3 Tage) berechnen.

2.6 Werte der von der Sonne verursachten Gezeitenbeschleunigung auf der Erde ↑ Anfang

Es gilt die unter 2.3 abgeleiteten Gleichung ebenfalls:
Δa_G ≈ ∓ 2·R·G·S / r₀³ bzw. (Mondmasse M ist durch Sonnenmasse S ersetzt; r₀ ist hier der Abstand Erde − Sonne)
M = 1,989·10³⁰ kg, Masse der Sonne,
r₀ = 1,496·10¹¹ m, mittlere Entfernung der Erde von der Sonne.
Mit den Werten für R, G, S und r₀ ergeben sich für die Gezeitenbeschleunigung an den Erdrändern die Werte
Δa_G ≈ ∓ 0,505·10⁻⁶ m/s²
(Gravitationsbeschleunigung im Erdmittelpunkt: a_G0 = G·S / r₀² = 5,93·10^-3 m/s²)

Vergleiche:

Die von der Sonne verursachte Gezeitenbeschleunigung beträgt trotz der viel größeren Sonnenmasse nur etwa 46% der vom Mond verursachten. Wenn Sonne und Mond mit der Erde auf einer Linie stehen (Voll- bzw. Neumond) addieren sich beide Wirkungen: Die Springtiden sind etwa 1,5 mal so stark wie in den Zeiten dazwischen (Halbmond).

Die Gravitationsbeschleunigung durch die Sonne ist zwar sehr groß (a_G=5,93·10^-3 gegenüber =3,32·10⁻⁵ m/s²). Die Gezeitenbeschleunigung skaliert aber mit 1/r₀³ (r₀ in dritter Potenz), weshalb sie mit wachsendem r₀ stärker abfällt als die Gravitationsbeschleunigung, die mit 1/r₀² (r₀ in zweiter Potenz) skaliert. Zudem ist der Erdradius R relativ zum Sonnenabstand wesentlich kleiner als relativ zum Mondabstand.

Zugabe:

Aus den Primär-Zusammenhängen ergibt sich die Gleichung ω² = G·S / (r₀²·r_E) ≈ G·S / r₀³ für die Winkelgeschwindigkeit ω, mit der die Erde die Sonne umrundet. Aus ihr lässt sich die Länge des Jahrs berechnen.
(Die Näherung ≈ ergibt sich aus der Tatsache, dass r₀ und r_E praktisch gleich groß sind, das Barryzentrum Sonne/Erde fast in den Sonnenmittelpunkt fällt.)

3. Anmerkungen ↑ Anfang

Anmerkung 1
Die Gezeitenkräfte sind Relationen zwischen Gravitationskräften, also ihnen nachgeordnete Kräfte.

Anmerkung 2
Die Erde kann bei der vorliegenden Erklärung der Tiden für Jedermann so behandelt werden, als wirke überall auf ihr die gleiche Gravitationskraft wie im Mittelpunkt.
Bei der Untersuchung der Eigendrehung der Erde muss der örtliche Unterschied der im und auf dem Erdkörper wirkenden Gravitationskraft berücksichtigt werden. Die kleine Verformung der nicht ganz starren Erde wiederholt sich bei Eigendrehung periodisch. Die Erde wird wie ein Autoreifen fortwährend durchgewalkt und verliert dadurch langfristig an Eigendrehgeschwindigkeit (vollständiger Verbrauch ihrer Rotationsenergie allerdings erst in etwa 2,7·10⁹ Jahren).

Anmerkung 3
Dass die Gezeitenbeschleunigungen an den gegenüberliegenden Erdrändern nicht ganz ausgeglichen sind und unterschiedliche Wasserbewegungen verursachen, legt die Frage nahe, ob dadurch die Umläufe von Erde und Mond um das Barryzentrum beeinflusst sind. Die Relationen 2,5% und 30-fach scheinen mir nicht unbedeutend zu sein. Eine Antwort darauf habe ich aber nicht gefunden.

Anmerkung 4
Die als Erstellen des Dynamischen Gleichgewichts bezeichnete Arbeitsmethode wurde von D'ALEMBERT u. a.n einige Zeit nach NEWTONs grundlegenden Vorarbeiten (Newton'sche Grundlegung der Mechanik) eingeführt, und wird seitdem als das d'Alembert'sche Prinzip bezeichnet. Es erlaubt, auf den in der praktischen/technischen Mechanik im engeren Sachkreis nutz- und sinnvoll angewendeten Begriff Fliehkraft und auf Begriffe für andere Trägheitskräfte auch allgemein nicht verzichten zu müssen. Siehe auch: Über den Kraft-Begriff in der Mechanik.

Anmerkung 5
Mancher Leser mag zusätzliche Kopfarbeit und schätzt die Anregung dazu.
Ich selbst wurde durch diese Zusatzarbeit auf die Revolution (Kreisbewegung ohne Rotation, s. Abb.3, links) aufmerksam. Diese kommt zwar angenähert (kleines Hin- und Herdrehen überlagert) als Exzenterbewegung z. B. eines Pleuelkopfes vor, den verallgemeinerten Ausdruck kannte ich aber noch nicht.

Anmerkung 6
Die Zentrifugalkräfte zeigen immer in Gegenrichtung des Mondes. Sie sind an allen Stellen der Erde gleich groß und sind untereinander parallel.

Anmerkung 7
Dass Radial- und Fliekraft gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung haben, scheint mir für Jedermann eine zweifelsfreie, auf Erfahrung gestützte Selbstverständlichkeit zu sein. In der Literatur ist hingegen mitunter zu lesen, dass D'ALEMBERT das für seinen "Trick dynamisches Gleichgewicht" hergeleitet und angewendet hätte.

Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, Oktober 2019

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