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Der Modulor

Inhalt

1. Einleitung

Der Architekt Le Corbusier stellte zwei Reihen von Längen-Normalen auf, die er zur Verwendung nicht nur in der Architektur, sondern in der gesamten Technik empfahl. Er veröffentlichte diese unter dem Titel Der Modulor, ein in Architektur und Technik allgemein anwendbares harmonisches Maß im menschlichen Maßstab [1].

Die in einer solchen Reihe einander folgenden Längenwerte entstehen aus dem jeweils vorherigen Wert durch Multiplikation (Wertevergrößerung) bzw. Division (Werteverkleinerung) mit bzw. durch die Verhätniszahl 1,618 des Goldenen Schnitts. Die beiden Reihen wurden von Le Corbusier als die Rote und die Blaue Reihe bezeichnet. Für die Rote Reihe wählte er 113 cm als Bezugswert. Das ist etwa die Höhe über Boden des Bauchnabels eines 183 cm großen Menschen (diese beiden Werte stehen zueinander auch im Verhältnis des Goldenen Schnitts: 113 cm x 1,618 = 183 cm).
Um weitere, zwischen den Werten der Roten Reihe liegende Werte zu bekommen, wurde die Blaue Reihe kreiert. Deren Werte sind das Doppel der Werte der Roten Reihe.

Rote Reihe (Werte in cm):  ...  10,2  16,5   26,7   43,2   69,8   113   183   296   479   775  ...
verdoppelt:                               20,4  33,0   53,4   86,3   140    226   366   592    .....

Blaue Reihe (Werte in cm): ...............  20,4   33,0   53,4   86,3   140   226   366   592    ....

Abb.1 Der Modulor [paesaggi-design]
         (einfarbiges Original in [2], Seite 308, Abb. 172)
          links: Rote Reihe; rechts: Blaue Reihe

Le Corbusier betont, dass seine Reihen Fibonacci-Folgen seien. Damit hat er aber nichts Besonderes geschaffen, denn der Quotient zwischen zwei aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen ist von "mathematischer Natur" aus eine Näherung an den Quotienten des Goldenen Schnitts. Diese Näherung ist umso besser, je größer die darin enthaltenen Zahlen sind (im Modulor werden relativ große Zahlen verwendet). Formal hat Le Corbusier Unrecht, denn als Fibonacci-Folgen werden nur Folgen ganzer Zahlen (natürliche Zahlen) bezeichnet.

2. Geometrische Folgen

3. Anwendung der Renard-Serien

Die Werte der in der Technik gängigen Renard-Serien werden rein seriell angewendet: Es entstehen nebeneinander stehende ähnliche, in i.d.R. einer Abmessung abgestufte Objekte. Bei Le Corbusier handelt es sich nicht um in ihren Abmessungen abgestufte Zusammenstellungen mehrerer/vieler Objekte. Er benutzte vorwiegend die Modulor-Werte in beliebigen Zusammenstellungen (Additionen) an einem einzigen Objekt. Mit Renard-Serien werden Folgen aus ähnlichen Teilen (z.B. Schrauben) und Formen (z.B. Hohlformen wie Bohrungen) erstellt. Die dabei verwendete geometrische Abstufung ist insofern sinnvoll bzw. erforderlich, weil benachbarte größere Teile bzw. Formen in gleichem Verhältnis wie benachbarte kleinere Teile zueinander stehen "müssen". Das Muß ergibt sich aus dem Gebrauch. Bei linearer Abstufung würden die größeren Teile bzw. Formen einander immer gleicher. Sie besäßen keinen unterschiedlichen Gebrauchs-Nutzen mehr.

Bei den Schrauben werden sowohl die Durchmesser als auch die Längen gestuft festgelegt. Kurze Schrauben müssen eng gestufte, z.B. in 10 mm - Schritten, Längen haben. Bei größerem Unterschied ist entweder die Kürzere zu kurz (zu wenig fest im Material sitzend) oder die Längere zu lang (hinten aus dem Material austretend). Bei langen Schrauben ist eine solche enge Stufung unnötig, denn das Material, in die sie einzudrehen sind, ist wesentlich dicker als das, wofür kurze Schrauben benutzt werden.

Andere Beispiele für die Anwendung von Renard-Serien sind der Durchmesser von Rohren und die ertragbaren Ampere-Werte elektrischer Sicherungen. Letztere sind jedem Hausmeister geläufig: 6, 10, 16, 25 A ... Diese Folge zeigt übrigens, dass einerseits Werte gerundet (6 anstatt 6,3 A) und andererseits Werte ausgelassen werden (die Werte 1; 1,6; 2,5 und 4 der R5-Reihe fehlen).

4. Anwendung des Modulor

Die Situation für die Anwendung der Modulor-Reihen ist in der Architektur (wofür der Modulor primär gedacht war) deutlich anders als für die Renard-Serien in der Technik. Es gibt zumindest keine von Architekten zu entwerfende Bauwerk-Serien, wobei sich die einzelnen Bauwerke lediglich in ihrer Größe unterscheiden. In geometrischen Reihen angebrachte Teile oder Formen wären in den Bauwerken vermutlich auch eher eine Ausnahme. Le Corbusier legte die Modulor-Werte wohl als Glieder zweier geometrischen Folgen fest, betont aber, dass die Werte aus beiden Reihen in beliebiger Zusammenstellung (Addition) angewendet werden können (eine Parallele dazu ist die Zusammenstellung von Wägestücken bei einer Balkenwaage). Wenn allerdings eine Form mit enthaltenem Goldenen Schnitt zu verwirklichen ist, so kann nicht beliebig kombiniert werden, es muß je ein Wert aus beiden Reihen benutzt werden. Die Verwendung des Goldenen Schnitts als Proportionsverhältnis ist nicht überraschend, denn dieser gilt seit der Renaisance als ein hohes ästhetisches Ideal. Le Corbusier wollte es wiederbeleben mit der kontraproduktiven Zusatzbedingung, dass bei den absoluten Längenwerten ausschließlich am menschlichen Körper vorkommende benutzt werden. Der Erfolg seiner Bemühungen blieb aus.

5. Was bleibt vom Modulor?

Die Annahme, dass der Goldene Schnitt eine besondere ästhetische Bedeutung habe, hat sich als unberechtigt erwiesen. Sie war reine Ideologie. Diese Zahl hat zwar mathematisch faszinierende Eigenschaften – sie ist sozusagen mathematisch hochästhetisch. Es gibt aber keinerlei Beleg, dass unser Auge beim Anblick golden geschnittener Rechtecke besonders entzückt wäre oder sie besser findet als andere. Le Corbusier hat gleich wie Renard die unendlich große Menge von Zahlen auf eine begrentzte Menge von Normzahlen reduziert. Renards Normzahlen wiederholen sich in praktisch vorteilhafter Weise im nächst-größeren Dezimalbereich mit zehn mal größeren Werten. Den Modulor-Zahlen fehlt diese vorteihafte Besonderheit, weil einerseits eine dafür unpassende willkürliche (Körpergröße 183 cm) Zahl dazugehören muss, und weil der Goldene Schnitt als Quotient der geometrischen Folgen dafür ungeeignet ist.

Le Corbusier grenzt die Zahl möglicher Längemaße an einem architektonisch gestalteten Bauwerk ein, ohne dass daraus ein wirtschaftlicher Vorteil wie bei der Herstellung von und beim Handel von technischen Massenprodukten resultiert. Architektonisch gestaltete Werke sind keine Massenware.

Eine Anwendung des Goldenen Schnittes in einem der Werke fasziniert weiterhin Anhänger dieser Ästhetik-Ideologie. Er springt auch ihnen nicht in die Augen, sondern er wird erst nach bewusstem Suchen entdeckt. Für die Verwirklichung einer Proportion im Goldenen Schnitt müssen nicht alle der an ihnen vorkommenden Abmessungen aus den beiden Modulor-Reihen stammen. Im Grunde müssen sich die Abmessungen garnicht an den Modulor halten, denn der Goldene Schnitt verlangt keine besonderen absoluten Werte.

Im Ausbildungsprogramm für Architekten und andere Künstler wird der Modulor voraussichtlich noch lange als Homage an den Goldenen Schnitt und an Le Corbusier Bestand haben. In Ausbildungsgänge für Techniker wurde der Modulor nie aufgenommen.

6.Wie ist der Modulor entstanden?

Le Corbusier war ein verehrter und weltberühmter Architekt. Die Art und Weise, wie er den Modulor erarbeitete und darstellte, steht diesem Nimbus diametral entgegen. Der mathematisch-geometrische Aspekt dieses von ihm selbst als Erfindung bezeichneten Zusammenhangs machte ihm erhebliche Mühe, was zumindest heutige Leser ziemlich merkwürdig finden. Le Cobusier bekennt einerseits, dass ihm das Rechnen schon in der Schule Angst machte und Abscheu einflößte, dass er darin "ein Stümper war" [1, S.131]. Andererseits verfasst er im Modulor [1] ein ganzes Kapitel "Mathematik" (Kap.3). Erwarten könnte man, dass er darin seine nachgeholten Kenntnisse in einfacher Mathematik schildert. Das passiert aber nicht. Im Gegenteil, er wiederholt gleich im ersten Absatz seine Hilflosigkeit, wenn nicht sogar Angst gegenüber der Mathematik mit der Feststellung, dass diese "ein fremder Ort" sei, "wo die Götter wohnen" [1, S.73]. Danach spricht er bald wieder ganz allgemein von seiner unaufhörlichen und "uneigennützigen Leidenschaft und Pflicht" für die "Bemühung um Verhältnis und Maße" [1, S.82], aber nicht über die einfache Beziehung des Modulor zur Mathematik.

Le corbusier verließ die Grundschule im Alter von 13 Jahren. Danach erlernte er an einer Kunstgewerbeschule die Handwerke Graveur und Ziselier. Der dortige Zeichenlehrer erweckte sein Interesse für Kunst und Architektur. So wurde er Maler, Bildhauer und Architekt, wobei er insbesondere für letzteres "den offiziellen Unterricht geflohen hatte" [1, S.29]. Mit 23 Jahren wollte er ein Haus bauen. Vor der bereits gezeichneten Fassade sitzend stellte sich ihm die "beängstigende Frage: Was ist das für eine Regel, die alles ordnet, alles verbindet?" Eines Tages "überkam ihn die Gewißheit einer Wahrheit: der rechte Winkel waltet über die Komposition: ... die Orte des rechten Winkels beherrschen" sie. "Dies wird ihm zu einer Offenbarung" [1, S.26]. Aus der Literatur erfährt er von regulierenden Liniennetzten, "um Kompositionen überlegt zu gestalten" 1, S.27]. In der Malerei erprobt er den Goldenen Schnitt, der neben dem Ort des rechten Winkels zum zweitenen Stichwort auf dem Jahrzehnte langen Weg zum Modulor werden wird.

Der Modulor ist "eine Erleuchtung durch die unendlichen Ordnungen", die Le Corbusier haben konnte, "weil er nie vom Akademismus geplagt wurde" [2, S.131]. Als Leser aller dieser Zitate liegt der Eindruck nahe, dass er auch nie geplagt wurde, sich allgemein verständlich ausdrücken zu lernen. Einige seiner späteren Angestellten halfen ihm dabei, den Modulor nicht nur zu entwickeln, sondern über ihn auch zu sprechen (sie waren dabei aber nicht sicher, dass daraus einmal "mehr als ein ästhetisches Rezept" [2, S.41] werden wird). Die Gedanken von Le Corbusier dazu mussten sie immer mehr oder weniger erraten. Dem Leser seiner beiden Bücher [1] und [2] geht es ebenso. Im Folgenden wird dennoch versucht, das Erarbeiten des Modulor an Hand dieser Bücher in etwa darzustellen.

Der Anfang war die Suche nach einer "Regel, die alles ordnet" [1, S.26]. Dem folgte die "Offenbarung: der rechte Winkel waltet über die Komposition" [1, S.26]. Als zweites zu benutzendes "mathematisches Hilfsmittel" ergab sich aus Le Cobusiers Malerei der Goldene Schnitt [1, S.27]. Durch Beobachtungen, insbesondere auf Reisen durch mehrere Länder erkannte er die häufig angewandte Deckenhöhe von 2,10 bis 2,20 Meter. Er erwärmte sich für dieses Maß als die Höhe eines Mannes mit erhobenem Arm. Als er diese Deckenhöhe in seinen frühen Bauten verwendete, geriet er bereits in den Widerspruch zu Bauvorschriften. Le Corbusier hatte sich schon früh für Standardisierung bzw. für den Serienbau von Wohnhäusern (Wohnhaus "als Wohnmaschine"; [1, S.28] ausgesprochen. Endlich nach etwa 20 Jahren ging es weiter mit seinem Modulor. Er versuchte ihn genauer darzustellen, nämlich als Gegenentwurf zu Bau-Normen, die während des zweiten Weltkrieges in Frankreich erarbeitet worden waren. Er sprach jetzt vom "Gitter der Verhältnisse" ([1, S.37], der Name Modulor wurde später gefunden). Er verstand darunter eine geometrische Darstellung, die mit Geometrie in der Mathematik nichts zu tun hat. Sie spielt die Rolle eines für seine Gewohnheit der visuellen Welt-Betrachtung unverzichtbares Bild.

Le Corbusier delegierte dessen Erschaffung an einen Gehilfen mit den Worten:
"Nehmen Sie einen Mann mit dem erhobenen Arm, 2,20 m hoch, stellen Sie ihn in zwei übereinander angeordnete Quadrate von 1,10 m; lassen Sie auf den beiden Quadraten ein drittes Quadrat reiten, das Ihnen eine Lösung bringen muß. Der Ort des rechten Winkel wird Ihnen helfen, die Lage des dritten Quadrates zu finden. ... Ich bin überzeugt, dass Sie mit diesem Werkstattgitter, das durch den in seinem Inneren aufgestellten Menschen reguliert ist, zu einer Reihe von Maßen gelangen werden, die die menschliche Gestalt und die Mathematik in Einklang bringen" [1, S.37].

Abb.2 Das "Gitter"
         Teil der Abb.13 aus [1, S.44], bearbeitet
          Maße 1,10 und 2,20 geändert in 1,13 und 2,26

Dass eine solche vage Aufgabenstellung scheitert, ist nicht verwunderlich. Der Gehilfe arbeitete zwar mit dem nicht einmal genannten Goldenen Schnitt erfolgreich, scheiterte aber mit dem Ort des rechten Winkels. Eine Dame aus dem weiteren Umkreis des Le-Cobusier-Büros hatte mehr Glück. Sie ging vom "reitenden" Quadrat aus und fand die beiden anderen Quadrate relativ zum Ausgangs-Quadrat in "richtiger" Position ("im Ort des rechten Winkels", [1, S.38] und Abb.2): Die Horizontalen des "reitenden" Quadrats teilen die Vertikalen der beiden anderen Quadrate im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

War diese mehrere Leute beschäftigende Konstruktion mit vager Aufgabenstellung und zufälligem Ergebnis nötig? Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt bilden, lässt sich ohne einen solchen Umweg erledigen. Die vielen anderen, untereinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehenden Strecken wurden schließlich auch nur als rechnerisch ermittelte Werte in das endgültige Gitter (Abb.1) eingetragen.

Le Corbusier war übrigens seinem Gitter der Verhältnisse nie ganz sicher. Nachträglich machten ihn mehrere Mathematiker darauf aufmerksam, dass die Konstruktion mithilfe des ihm offenbarten "Ort des rechten Winkels" mathematisch nicht korrekt ist: Die beiden gefundenen Quadrate sind 1,006-fach zu groß. Praktisch ist das allerdings unbedeutend. Nur, die Maus zum Elefanten gemacht zu haben, könnte man ihm ankreiden.

7. Literatur

Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, August 2021

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