<< Home
<< andere "Allerlei"-Beiträge

Zahlensumme 1 bis 100

Bei einer Fahrt durch das Erzgebirge kamen wir in die Nähe von Annaberg, wo der Rechenmeister Adam Ries längere Zeit lebte und wirkte. Zu einem Besuch in dieser Stadt und dem dortigen Adam-Ries-Museum reichte die Zeit leider nicht, aber wir redeten über Ries. Mein Begleiter erzählte, dass Ries bereits in der Schule als begabter Rechner aufgefallen sei. Zur Sprache kam die Geschichte, dass er die Summe der Zahlen 1 bis 100 in kürzester Zeit angegeben habe. Ich kannte bisher nur einen ähnlichen, Carl Friedrich Gauß betreffenden Fall, wobei ich aber insofern irrte, dass jener die in 1 bis 100 enthaltenen Primzahlen in Kürze herausgefunden hätte. Gesichert überliefert ist [1], dass Gauß die gleiche Aufgabe wie Ries in viel kürzerer Zeit, als die Lehrer ihn bzw. Ries und die anderen Schüler mit sich selbst beschäftigen wollte, löste.

1. Ries' Vorgehen war laut meinem Begleiter dieses:
   (1+99) + (2+98) + ... + (48+52) + (49+51) + 50 + 100 = 100 x 49 + 50 + 100 = 5050.
2. Bereits während seines Vortrages bildete ich den Mittelwert aus 1 und 100 zu 50,5 ((1+100)/2)
   und multiplizierte mit 100: 50,5 x 100 = 5050.
   Etwa gleichzeitig sprachen wir das gleiche Ergebnis aus.
3. Die Ries nachgesagte Bildung von 100 ergebenden Teilsummen könnte durch die einfach im Kopf zu behaltende "glatte" Zahl 100 begründet sein. Da mich die zusätzlichen Einzelsummanden 50 und 100 störten, legte ich die Sache noch nicht zu den Akten. Kurze Zeit später kam ich auf:
   (1+100) + (2+99) + ... + (48+53) + (49+52) + (50+51) = 101 x 50 = 5050.
   Diese Löäsung ist kürzer als die 2. Lösung. Die glatte 100 der Teilsummen wird zwar mit 101 unglatt, dafür aber die unglatte 49 ihrer Anzahl zur glatten 50.

Nach dem Ende der Reise recherchierte ich zu Hause und stellte fest, dass die 3. Lösung dem Vorgehen des neunjährigen Gauß entspricht [2]. Die Verallgemeinerung auf die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen wurde später als die Gaußsche Summenformel bekannt, obwohl sie bereits der vorgriechischen Mathematik bekannt gewesen sei: Summe = n (n+1) / 2 .

Die Mittelwert-Lösung (2.):
Hierzu fand ich keine Erwähnung in der Literatur. Sie ist relativ einfach und funktioniert auch, wenn die zu summierende Zahlenreihe mit einer Zahl k>1 beginnt: Summe = (n+k)/2 x (n-k+1)
Beispiel | 5 bis 100 : Summe = (100+5)/2 x (100-5 +1) = 52,5 x 96 = 5040.
            Kontrollrechnng: Summe (5 .. 100) = Summe (1 .. 100) - Summe (1 .. 4) = 5050 - (4x5)/2 = 5050 - 10 = 5040,
                                     Gauß: Summe (1 .. 4) = 4 (4+1)/2 = 10.

[1] Sartorius von Waltershausen: GAUSS zum Gedächtnis. 1856 , S. 12-13,
[2] Wikipedia: Die Gaußsche Summenformel.

<< andere "Allerlei"-Beiträge
<< Home